Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x2 + y2 = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi, biết A thuộc Ox.

Câu hỏi số 47329:

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có AC = 2BD và đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình x² + y² = 4. Viết phương trình chính tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi, biết A thuộc Ox.

A. $\frac{x^2}{20}$ + $\frac{y^2}{5}$ = 1

B. $\frac{x^2}{20}$ + $\frac{y^2}{25}$ = 1

C. $\frac{x^2}{16}$ + $\frac{y^2}{25}$ = 1

D. $\frac{x^2}{9}$ + $\frac{y^2}{16}$ = 1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:47329

Giải chi tiết

Đường tròn (C) có tâm I ≡ O(0; 0) và có bán kính R = 2, đường tròn (C) tiếp xúc với các cạnh của hình thoi nên O là tâm của hình thoi ABCD, H là hình chiếu vuông góc của O lên AB => OH = R = 2

Giả sử A(a; 0) ∈ Ox, điểm C đối xứng với A qua O nên C(-a; 0)

=> AC = 2a, BD = $\frac{AC}{2}$ = a, OA = $\frac{AC}{2}$ = a, OB = $\frac{BD}{2}$ = $\frac{a}{2}$

Trong tam giác vuông OAB ta có

$\frac{1}{OH^2}$ = $\frac{1}{OA^2}$ + $\frac{1}{OB^2}$ <=> $\frac{1}{4} = \frac{1}{\frac{a^2}{4}} + \frac{1}{a^2}$ = $\frac{5}{a^2}$

=> a²= 20 => a = 2√5 => AC = 4√5, BD = 2√5

Giả sử phương trình chính tắc của (E): $\frac{x^2}{a^2}$ + $\frac{y^2}{b^2}$ = 1 (a > b > 0)

Vì (E) đi qua 4 đỉnh A, B, C, D nên có độ dài trục lớn AC = 2a,

trục bé BD = 2b => b = √5

Vậy phương trình của elip (E): $\frac{x^2}{20}$ + $\frac{y^2}{5}$ = 1

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.