Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc \(\angle BAC\) cắt cạnh BC

Câu hỏi số 474489:

Vận dụng

Cho ∆ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Tia phân giác góc \(\angle BAC\) cắt cạnh BC tại D và cắt đường tròn (O) tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên AB. I là hình chiếu của M trên AC. Chứng minh rằng

a) AKMT là tứ giác nội tiếp

b) \(M{B^2} = M{C^2} = MD.MA\)

c) Khi đường tròn (O) và B;C cố định, điểm A thay đổi trên cung lớn BC thì tổng \(\dfrac{{AB}}{{MK}} + \dfrac{{AC}}{{MT}}\) có giá trị không đổi.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474489

Giải chi tiết

a) \(AKMT\) là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MK \bot AB = \left\{ K \right\}\\MT \bot AC = \left\{ T \right\}\end{array} \right.\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \angle AKM = \angle ATM = {90^0}\)

Xét tứ giác \(AKMT\) ta có: \(\angle AKM + \angle ATM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow AKMT\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) (đpcm).

b) \(M{B^2} = M{C^2} = MD.MA.\)

Xét \(\left( O \right)\) ta có:

\(\angle MAB\) là góc nội tiếp chắn cung \(BM\)

\(\angle MAC\) là góc nội tiếp chắn cung \(CM\)

Lại có: \(MA\) là tia phân giác của \(\angle BAC\,\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \angle MAB = \angle MAC.\)

\( \Rightarrow \) Số đo cung \(BM = \) Số đo cung \(CM\) (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau).

Ta có:

\(\angle MBC\) là góc nội tiếp chắn cung \(MC\)

\(\angle BAM\) là góc nội tiếp chắn cung \(BM\)

\( \Rightarrow \angle MAB = \angle MBC = \angle MBD\) (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau thì bằng nhau).

Xét \(\Delta MAB\) và \(\Delta MBD\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle AMB\,\,\,chung\\\angle MAB = \angle MBD\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta MAB \sim \Delta MBD\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{{MB}}{{MD}} \Rightarrow M{B^2} = MD.MA.\end{array}\)

Lại có: Số đo cung \(BM = \) Số đo cung \(CM\) (cmt) nên \(MB = MC\) (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).

Vậy \(M{B^2} = M{C^2} = MD.MA\,\,\,\left( {dpcm} \right)\).

c) Khi đường tròn \(\left( O \right)\) và \(B,\,\,C\) cố định, điểm \(A\) thay đổi trên cung lớn \(BC\) thì tổng \(\dfrac{{AB}}{{MK}} + \dfrac{{AC}}{{MT}}\) có giá trị không đổi.

Đặt \(\angle BAM = \angle CAM = \alpha \).

Xét \(\Delta AKM\) và \(\Delta ATM\) có:

\(\begin{array}{l}AM\,\,chung\\\angle KAM = \angle TAM\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta AKM = \Delta ATM\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow MK = MT\) (hai 2 tương ứng).

Giả sử \(AB \le AC\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\dfrac{{AB}}{{MK}} + \dfrac{{AC}}{{MT}}\\ = \dfrac{{AK - BK}}{{MK}} + \dfrac{{AT + TC}}{{MK}}\\ = \dfrac{{AK + AT - BK + TC}}{{MK}}\end{array}\)

Xét \(\Delta BMK\) và \(\Delta CMT\) có:

\(\begin{array}{l}MB = MC\,\,\left( {cmt} \right)\\MK = MT\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta BMK = \Delta CMT\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow BK = TC\) (2 cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{MK}} + \dfrac{{AC}}{{MT}} = \dfrac{{AK + AT}}{{MK}}\).

Xét tam giác \(AKM\) vuông tại \(K\) có: \(AK = AM.\cos \alpha \), \(MK = AM.\sin \alpha \).

Xét tam giác \(AMT\) vuông tại \(T\) có: \(AT = AM.\cos \alpha \).

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{MK}} + \dfrac{{AC}}{{MT}} = \dfrac{{AM.\cos \alpha + AM.\cos \alpha }}{{AM.\sin \alpha }} = \dfrac{{2AM.\cos \alpha }}{{AM.\sin \alpha }} = 2\cot \alpha \).

Vì đường tròn \(\left( O \right)\) và \(BC\) cố định nên số đo cung \(BC\) không đổi.

\( \Rightarrow \angle BAC = 2\alpha = \dfrac{1}{2}\) số đo cung BC không đổi (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).

\( \Rightarrow \alpha \) không đổi \( \Rightarrow 2\cot \alpha \) không đổi.

Vậy \(\dfrac{{AB}}{{MK}} + \dfrac{{AC}}{{MT}} = 2\cot \alpha \) không đổi, với \(\alpha = \dfrac{1}{4}\) số đo cung BC không đổi.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link