Cho các số thực không âm \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 1.\) Chứng minh: \({a^3} + {b^3} +

Câu hỏi số 476084:

Vận dụng cao

Cho các số thực không âm \(a,b,c\) thỏa mãn điều kiện \(a + b + c = 1.\)

Chứng minh: \({a^3} + {b^3} + {c^3} \le \dfrac{1}{8} + {a^4} + {b^4} + {c^4}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476084

Phương pháp giải

Sử dụng khai triển \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = {a^3}\left( {b + c} \right) + {b^3}\left( {a + c} \right) + {c^3}\left( {a + b} \right) + abc\left( {a + b + c} \right)\) và bất đẳng thưc \(AM - GM\).

Giải chi tiết

Ta có khai triển :

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {ab + bc + ca} \right) = {a^3}\left( {b + c} \right) + {b^3}\left( {a + c} \right) + {c^3}\left( {a + b} \right) + abc\left( {a + b + c} \right)\)

Lại có : \(1 = {\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 2\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)} \) (BĐT AM–GM)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {ab + bc + ca} \right)\dfrac{1}{8}\\ \Rightarrow {a^3}\left( {b + c} \right) + {b^3}\left( {a + c} \right) + {c^3}\left( {a + b} \right) + abc\left( {a + b + c} \right) \le \dfrac{1}{8}\\ \Rightarrow {a^3}\left( {1 - a} \right) + {b^3}\left( {1 - b} \right) + {c^3}\left( {1 - c} \right) \le \dfrac{1}{8}\\ \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {c^3} \le \dfrac{1}{8} + {a^4} + {b^4} + {c^4}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi \((a,b,c) = \left( {\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0} \right)\)và các hoán vị.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link