Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên mặt
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều. Hình chiếu vuông góc của \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là trung điểm của \(BC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với các cạnh bên và cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại \(D,\,\,E,\,\,F\). Biết mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và chu vi của tam giác \(DEF\) bằng \(4\), thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Sưu tầm FB Nguyễn Duy Tân -
Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(BC,\,\,B'C'\).
Gọi \(K = MN \cap EF\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot A'M\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AMNA'} \right) \Rightarrow BC \bot AA' \Rightarrow BC \bot BB'\).
Do \(\left( {DEF} \right) \bot BB'\) nên \(EF \bot BB'\).
Trong \(\left( {BCC'B'} \right)\) có \(\left\{ \begin{array}{l}EF \bot BB'\\BC \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow BC//EF\), suy ra \(K\) là trung điểm của \(EF\).
Lại có \(BC \bot \left( {AMNA'} \right) \Rightarrow BC \bot DK \Rightarrow EF \bot DK\). Suy ra \(\Delta DEF\) cân tại \(D\).
Vì \(\left( {ABB'A'} \right) \bot \left( {ACC'A'} \right) \Rightarrow \angle EDF = {90^0}\) \( \Rightarrow \Delta DEF\) vuông cân tại \(D\).
Theo bài ra ta có: \({C_{\Delta DEF}} = 4 \Rightarrow DE + DF + EF = 4\)
\( \Rightarrow \dfrac{{EF}}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{{EF}}{{\sqrt 2 }} + EF = 4 \Leftrightarrow EF = 4\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\) \( \Rightarrow BC = EF = 4\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM = \dfrac{{BC\sqrt 3 }}{2} = 2\sqrt 3 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\).
Kẻ \(MH \bot AA'\) ta có \(MH = DK = \dfrac{1}{2}EF = 2\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(A'MA\) ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{M{H^2}}} = \dfrac{1}{{M{A^2}}} + \dfrac{1}{{A'{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{4{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{12{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{A'{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A'{M^2}}} = \dfrac{1}{{6{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}}} \Rightarrow A'M = \sqrt 6 \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\end{array}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'M.{S_{ABC}} = A'M.\dfrac{1}{2}AM.BC = 12\left( {10 - 7\sqrt 2 } \right)\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
