Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {x +

Câu hỏi số 476131:

Vận dụng cao

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = \ln 3\). Giá trị của \({e^{F\left( {2021} \right)}} - {e^{F\left( {2020} \right)}}\) thuộc khoảng nào?

A. \(\left( {0;\dfrac{1}{{10}}} \right)\)

B. \(\left( {\dfrac{1}{{10}};\dfrac{1}{5}} \right)\)

C. \(\left( {\dfrac{1}{5};\dfrac{1}{3}} \right)\)

D. \(\left( {\dfrac{1}{3};\dfrac{1}{2}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476131

Phương pháp giải

Đặt \(t = x + \dfrac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = x + \dfrac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow dt = \left( {1 + \dfrac{{2x + 3}}{{2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}} \right)dx\\ \Rightarrow dt = \dfrac{{2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} + 2x + 3}}{{2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}dx\\ \Rightarrow dt = \dfrac{{x + \dfrac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}{{\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}dx\\ \Rightarrow dt = \dfrac{t}{{\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}dx\\ \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }} = \dfrac{{dt}}{t}\end{array}\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}F\left( x \right) = \int {\dfrac{1}{{2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} }}dx = \dfrac{1}{2}\int {\dfrac{{dt}}{t}} } = \dfrac{1}{2}\ln \left| t \right| + C\\ \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left| {x + \dfrac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right| + C\end{array}\)

Lại có \(F\left( 1 \right) = \ln 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 + \dfrac{3}{2} + \sqrt 4 } \right| + C = \ln 3\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{9}{2} + C = \ln 3\\ \Leftrightarrow \ln 9 - \ln 2 + 2C = \ln 9\\ \Leftrightarrow 2C = \ln 2 \Leftrightarrow C = \dfrac{1}{2}\ln 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left| {x + \dfrac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right| + \dfrac{1}{2}\ln 2\\ \Rightarrow {e^{F\left( x \right)}} = {e^{\dfrac{1}{2}\ln \left| {x + \dfrac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right| + \dfrac{1}{2}\ln 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {{e^{\ln \left| {x + \dfrac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right|}}} \right)^{\frac{1}{2}}}.{\left( {{e^{\ln 2}}} \right)^{\frac{1}{2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt 2 .\sqrt {\left| {x + \dfrac{3}{2} + \sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right|} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {\left| {2x + 3 + 2\sqrt {x\left( {x + 3} \right)} } \right|} \end{array}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{e^{F\left( {2021} \right)}} = \sqrt {\left| {2.2021 + 3 + 2\sqrt {2021\left( {2021 + 3} \right)} } \right|} \\{e^{F\left( {2020} \right)}} = \sqrt {\left| {2.2020 + 3 + 2\sqrt {2020\left( {2020 + 3} \right)} } \right|} \end{array} \right.\)

Vậy \({e^{F\left( {2021} \right)}} - {e^{F\left( {2020} \right)}} \approx 0,022\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.