Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số thực dương đôi một phân biệt. Có bao nhiêu bộ số \(\left( {a;b;c}

Câu hỏi số 476134:

Vận dụng cao

Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số thực dương đôi một phân biệt. Có bao nhiêu bộ số \(\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \({a^{b + 2}} \le {b^{a + 2}}\), \({b^{c + 2}} \le {c^{b + 2}}\), \({c^{a + 2}} \le {a^{c + 2}}\)?

A. \(1\)

B. \(3\)

C. \(6\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476134

Giải chi tiết

- Sưu tầm FB Trần Minh Quang –

Với mọi bộ số \(\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn \(a + b + c = 1\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{a^b}{b^c}{c^a} \le ab + bc + ca\\{a^c}{b^a}{c^b} \le ab + bc + ca\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^{b + 2}}.{b^{c + 2}}.{c^{a + 2}} \le {\left( {abc} \right)^2}\left( {ab + bc + ca} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^{c + 2}}.{b^{a + 2}}.{c^{b + 2}} \le {\left( {abc} \right)^2}\left( {ab + bc + ca} \right)\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Cộng vế theo vế BĐT (1) và (2) ta có \({a^{b + 2}}.{b^{c + 2}}.{c^{b + 2}}.{a^{c + 2}}.{b^{a + 2}}.{c^{b + 2}} \le 2{\left( {abc} \right)^2}\left( {ab + bc + ca} \right)\,\,\,\left( * \right)\).

Mà \({b^{a + 2}} \ge {a^{b + 2}},\,\,{c^{b + 2}} \ge {b^{c + 2}},\,\,\,{c^{a + 2}} \ge {a^{c + 2}}\)nên từ (*) ta có \(2{\left( {abc} \right)^2}\left( {ab + bc + ca} \right) \ge {\left( {{a^{b + 2}}.{b^{c + 2}}.{c^{a + 2}}} \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow abc\sqrt {2\left( {ab + bc + ca} \right)} \ge {a^{b + 2}}.{b^{c + 2}}.{c^{a + 2}}\\ \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {ab + bc + ca} \right)} \ge {a^{b + 1}}.{b^{c + 1}}.{c^{a + 1}} \ge \left( {b + 1} \right)a + \left( {c + 1} \right)b + \left( {a + 1} \right)c\\ \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {ab + bc + ca} \right)} \ge \left( {ab + bc + ca} \right) + a + b + c\\ \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {ab + bc + ca} \right)} \ge \left( {ab + bc + ca} \right) + 1\\ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {ab + bc + ca} } \right)^2} - \sqrt 2 \sqrt {ab + bc + ca} + 1 \le 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {ab + bc + ca} - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} + \dfrac{1}{2} \le 0\) (vô lý).

Vậy không có bộ số \(\left( {a;b;c} \right)\) nào thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.