Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + 3f\left( x

Câu hỏi số 476133:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + 3f\left( x \right) = \sin \left( {2{x^3} - 3{x^2} + x} \right)\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) thuộc khoảng nào?

A. \(\left( { - 3; - 2} \right)\)

B. \(\left( { - 2; - 1} \right)\)

C. \(\left( { - 1;1} \right)\)

D. \(\left( {1;2} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476133

Phương pháp giải

- Từ giả thiết \({f^3}\left( x \right) + 3f\left( x \right) = \sin \left( {2{x^3} - 3{x^2} + x} \right)\) thay \(x\) bởi \(1 - x\) và chứng minh \(f\left( x \right) = - f\left( {1 - x} \right)\).

- Chứng minh \(\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \), từ đó tính \(I\).

Giải chi tiết

- Sưu tầm FB Lưu Thêm -

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{f^3}\left( {1 - x} \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sin \left[ {2{{\left( {1 - x} \right)}^3} - 3{{\left( {1 - x} \right)}^2} + 1 - x} \right]\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( {1 - x} \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sin \left( {2 - 6x + 6{x^2} - 2{x^3} - 3 + 6x - 3{x^2} + 1 - x} \right)\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( {1 - x} \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sin \left( { - 2{x^3} + 3{x^2} - x} \right)\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( {1 - x} \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = - \sin \left( {2{x^3} - 3{x^2} + x} \right)\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( {1 - x} \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = - {f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right)\\ \Leftrightarrow {f^3}\left( {1 - x} \right) + {f^3}\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) + 3f\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {f\left( {1 - x} \right) + f\left( x \right)} \right]\left[ {{f^2}\left( {1 - x} \right) - f\left( {1 - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( x \right)} \right] + 3\left[ {f\left( {1 - x} \right) + f\left( x \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {f\left( {1 - x} \right) + f\left( x \right)} \right]\left[ {{f^2}\left( {1 - x} \right) - f\left( {1 - x} \right)f\left( x \right) + {f^2}\left( x \right) + 3} \right] = 0\\ \Leftrightarrow f\left( x \right) = - f\left( {1 - x} \right)\end{array}\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} \).

Ta lại có \(\int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)dx} = - \int\limits_0^1 {f\left( {1 - x} \right)d\left( {1 - x} \right)} = - \int\limits_1^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \).,

Do đó \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 0\).

Vậy \(I\left( { - 1;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.