Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {\left( {3 + x}

Câu hỏi số 476137:

Vận dụng

Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = m\).

A. \(0 \le m \le 6\)

B. \(3 \le m \le 3\sqrt 2 \)

C. \( - \dfrac{1}{2} \le m \le 3\sqrt 2 \)

D. \(3\sqrt 2 - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476137

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} \), tìm điều kiện của \(t\).

- Bình phương hai vế, biểu diễn \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \) theo \(t\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\), tìm nghiệm \(t\) theo \(m\).

- Giải các bất phương trình \(t\) thỏa mãn điều kiện xác định ở trên.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le 6\).

Đặt \(t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow {t^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}\end{array}\)

Do \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 3\\t \le - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge 3\) (do \(t \ge 0\)).

Lại có \(\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right) = - {x^2} + 3x + 18 \le \dfrac{{81}}{4}\,\,\forall x\) nên \(\dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \le \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow t \le 3\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow 3 \le t \le 3\sqrt 2 \).

Khi đó phương trình trở thành

\(t - \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2m - 9 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn (1).

Ta có \(\Delta ' = 1 - 2m + 9 = 10 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\).

Khi đó phương trình (*) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1 + \sqrt {10 - 2m} \\{t_2} = 1 - \sqrt {10 - 2m} \end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3 \le 1 + \sqrt {10 - 2m} \le 3\sqrt 2 \\3 \le 1 - \sqrt {10 - 2m} \le 3\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 \le \sqrt {10 - 2m} \le 3\sqrt 2 - 1\\1 - 3\sqrt 2 \le \sqrt {10 - 2m} \le - 2\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4 \le 10 - 2m \le 19 - 6\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 6\sqrt 2 - 9 \le 2m \le 6\\ \Leftrightarrow 3\sqrt 2 - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(3\sqrt 2 - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.