Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {\left( {3 + x}

Câu hỏi số 476137:

Vận dụng

Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm: \(\sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} - \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = m\).

A. \(0 \le m \le 6\)

B. \(3 \le m \le 3\sqrt 2 \)

C. \( - \dfrac{1}{2} \le m \le 3\sqrt 2 \)

D. \(3\sqrt 2 - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476137

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} \), tìm điều kiện của \(t\).

- Bình phương hai vế, biểu diễn \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \) theo \(t\).

- Đưa phương trình đã cho về dạng phương trình bậc hai ẩn \(t\), tìm nghiệm \(t\) theo \(m\).

- Giải các bất phương trình \(t\) thỏa mãn điều kiện xác định ở trên.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \( - 3 \le x \le 6\).

Đặt \(t = \sqrt {3 + x} + \sqrt {6 - x} \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {t^2} = 3 + x + 6 - x + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow {t^2} = 9 + 2\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \\ \Rightarrow \sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} = \dfrac{{{t^2} - 9}}{2}\end{array}\)

Do \(\sqrt {\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right)} \ge 0 \Leftrightarrow \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \ge 3\\t \le - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t \ge 3\) (do \(t \ge 0\)).

Lại có \(\left( {3 + x} \right)\left( {6 - x} \right) = - {x^2} + 3x + 18 \le \dfrac{{81}}{4}\,\,\forall x\) nên \(\dfrac{{{t^2} - 9}}{2} \le \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow t \le 3\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow 3 \le t \le 3\sqrt 2 \).

Khi đó phương trình trở thành

\(t - \dfrac{{{t^2} - 9}}{2} = m \Leftrightarrow {t^2} - 2t + 2m - 9 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm thỏa mãn (1).

Ta có \(\Delta ' = 1 - 2m + 9 = 10 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5\).

Khi đó phương trình (*) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = 1 + \sqrt {10 - 2m} \\{t_2} = 1 - \sqrt {10 - 2m} \end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}3 \le 1 + \sqrt {10 - 2m} \le 3\sqrt 2 \\3 \le 1 - \sqrt {10 - 2m} \le 3\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2 \le \sqrt {10 - 2m} \le 3\sqrt 2 - 1\\1 - 3\sqrt 2 \le \sqrt {10 - 2m} \le - 2\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow 4 \le 10 - 2m \le 19 - 6\sqrt 2 \\ \Leftrightarrow 6\sqrt 2 - 9 \le 2m \le 6\\ \Leftrightarrow 3\sqrt 2 - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\end{array}\)

Kết hợp điều kiện ta có \(3\sqrt 2 - \dfrac{9}{2} \le m \le 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10