Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc

Câu hỏi số 476266:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông tâm \(O\), cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, góc \(\angle SBD = {60^0}\). Thể tích khối chóp đã cho bằng:

A. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\)

D. \({a^3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476266

Phương pháp giải

- Chứng minh \(\Delta SBD\) đều, gọi \(O = AC \cap BD\), tính \(SO\).

- Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOA\) tính \(SA\).

- Tính \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}}\).

Giải chi tiết

Dễ thấy \(\Delta SAB = \Delta SAD\) (2 cạnh góc vuông) \( \Rightarrow SB = SD \Rightarrow \Delta SBD\) cân tại \(S\).

Lại có \(\angle SBD = {60^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta SBD\) đều.

Gọi \(O = AC \cap BD\). Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(AC = BD = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow OA = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và \(\Delta SBD\) đều cạnh \(a\sqrt 2 \) nên \(SO = \dfrac{{a\sqrt 2 .\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOA\): \(SA = \sqrt {S{O^2} - O{A^2}} = \sqrt {\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right) - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = a\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a.{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.