Cho hình thang vuông \(ABCD\) với đường cao \(AB = 2a\), các cạnh đáy \(AD = a\) và \(BC = 3a\). Gọi
Cho hình thang vuông \(ABCD\) với đường cao \(AB = 2a\), các cạnh đáy \(AD = a\) và \(BC = 3a\). Gọi \(M\) là điểm trên đoạn \(AC\) sao cho \(\overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {AC} \). Tìm \(k\) để \(BM \bot CD\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Kẻ \(DH \bot BC\) tại \(H\). Biểu diễn \(\overrightarrow {BM} ,\,\,\overrightarrow {DC} \) qua \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \).
\(BM \bot CD \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {BM} \,\,.\,\,\overrightarrow {CD} = 0\)
Kẻ \(DH \bot BC\) tại \(H\).
Xét tứ giác \(ABHD\) ta có: \(\angle DAB = \angle ABH\)\(\angle AHD = {90^ \circ }\)
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ABHD\) là hình chữ nhật
\( \Rightarrow BH = AD = a\)
Theo đề bài ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = k\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} \end{array}\)
Ta có: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DH} + \overrightarrow {HC} \)\( = \overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)
Để \(BM \bot CD \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {BM} \,\,.\,\,\overrightarrow {CD} = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} } \right].\left( { - \overrightarrow {AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} } \right]\left( {\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)A{B^2} + \dfrac{2}{3}\left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + k\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}k.B{C^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right).{\left( {2a} \right)^2} + \dfrac{2}{3}k.{\left( {3a} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {k - 1} \right){a^2} + 6k{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4k - 4 + 6k} \right){a^2} = 0\\ \Leftrightarrow 10k - 4 = 0\\ \Leftrightarrow k = \dfrac{2}{5}\end{array}\)
Vậy \(k = \dfrac{2}{5}\).
Đáp án cần chọn là: D
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
