Cho hình thang vuông \(ABCD\) với đường cao \(AB = 2a\), các cạnh đáy \(AD = a\) và \(BC = 3a\). Gọi \(M\) là điểm trên đoạn \(AC\) sao cho \(\overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {AC} \). Tìm \(k\) để \(BM \bot CD\).

Câu 476433: Cho hình thang vuông \(ABCD\) với đường cao \(AB = 2a\), các cạnh đáy \(AD = a\) và \(BC = 3a\). Gọi \(M\) là điểm trên đoạn \(AC\) sao cho \(\overrightarrow {AM} = k.\overrightarrow {AC} \). Tìm \(k\) để \(BM \bot CD\).

A. \(k = \dfrac{4}{9}\)

B. \(k = \dfrac{3}{7}\)

C. \(k = \dfrac{1}{3}\)

D. \(k = \dfrac{2}{5}\)

Câu hỏi : 476433

Phương pháp giải:

Kẻ \(DH \bot BC\) tại \(H\). Biểu diễn \(\overrightarrow {BM} ,\,\,\overrightarrow {DC} \) qua \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \).

\(BM \bot CD \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {BM} \,\,.\,\,\overrightarrow {CD} = 0\)

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Kẻ \(DH \bot BC\) tại \(H\).

Xét tứ giác \(ABHD\) ta có: \(\angle DAB = \angle ABH\)\(\angle AHD = {90^ \circ }\)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ABHD\) là hình chữ nhật

\( \Rightarrow BH = AD = a\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = k\overrightarrow {AC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = k\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right)\\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = k\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} \\ \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} \end{array}\)

Ta có: \(\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DH} + \overrightarrow {HC} \)\( = \overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC} \)

Để \(BM \bot CD \Leftrightarrow \) \(\overrightarrow {BM} \,\,.\,\,\overrightarrow {CD} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ {\left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} } \right].\left( { - \overrightarrow {AB} - \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} + k\overrightarrow {BC} } \right]\left( {\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow {BC} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)A{B^2} + \dfrac{2}{3}\left( {k - 1} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} + k\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {AB} + \dfrac{2}{3}k.B{C^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right).{\left( {2a} \right)^2} + \dfrac{2}{3}k.{\left( {3a} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {k - 1} \right){a^2} + 6k{a^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {4k - 4 + 6k} \right){a^2} = 0\\ \Leftrightarrow 10k - 4 = 0\\ \Leftrightarrow k = \dfrac{2}{5}\end{array}\)

Vậy \(k = \dfrac{2}{5}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.