Cho đoạn thẳng \(AB = 2\) có \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tập hợp các điểm \(M\) để \(M{A^2}

Câu hỏi số 476436:

Vận dụng

Cho đoạn thẳng \(AB = 2\) có \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tập hợp các điểm \(M\) để \(M{A^2} - M{B^2} = 8\) là

A. Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H\) (với \(H\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(B\))

B. \(M\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(B\)

C. Đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt 3 \)

D. Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(K\) (với \(K\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(A\))

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476436

Phương pháp giải

Gọi là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\).

Sử dụng giải thiết \(M{A^2} - M{B^2} = 8\) để suy ra \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {HI} = 4\). Từ đó xác định được tập hợp các điểm \(M\).

Giải chi tiết

Vì \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)(tính chất)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} - M{B^2} = 8 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IB} = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} + BA.IA.\cos {0^0} + BA.IB.\cos {180^0} = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} + BA.IA - BA.IB = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} = 4\\\,\,\,\,\end{array}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} = 4\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HI} } \right) = 4\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {HI} = 4\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {HI} = 4\\ \Leftrightarrow BA.HI.\cos {0^0} = 4\\ \Leftrightarrow BA.HI = 4\end{array}\)

Mà \(AB = 2\)\( \Rightarrow HI = 2\)

Vậy \(H\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(B\) hay tập hợp quỹ tích của điểm \(M\) là đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.