Cho đoạn thẳng \(AB = 2\) có \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tập hợp các điểm \(M\) để \(M{A^2} - M{B^2} = 8\) là

Câu 476436: Cho đoạn thẳng \(AB = 2\) có \(I\) là trung điểm của \(AB\). Tập hợp các điểm \(M\) để \(M{A^2} - M{B^2} = 8\) là

A. Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H\) (với \(H\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(B\))

B. \(M\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(B\)

C. Đường tròn tâm \(I\), bán kính \(R = \sqrt 3 \)

D. Đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(K\) (với \(K\) là điểm đối xứng của \(I\) qua \(A\))

Câu hỏi : 476436

Phương pháp giải:

Gọi là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\).

Sử dụng giải thiết \(M{A^2} - M{B^2} = 8\) để suy ra \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {HI} = 4\). Từ đó xác định được tập hợp các điểm \(M\).

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Vì \(I\) là trung điểm của \(AB\) nên \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)(tính chất)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} - M{B^2} = 8 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right).\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right) = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {IB} = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} + BA.IA.\cos {0^0} + BA.IB.\cos {180^0} = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} + BA.IA - BA.IB = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} = 8\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} = 4\\\,\,\,\,\end{array}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(M\) lên \(AB\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MI} = 4\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HI} } \right) = 4\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {HI} = 4\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {HI} = 4\\ \Leftrightarrow BA.HI.\cos {0^0} = 4\\ \Leftrightarrow BA.HI = 4\end{array}\)

Mà \(AB = 2\)\( \Rightarrow HI = 2\)

Vậy \(H\) là điểm đối xứng với \(I\) qua \(B\) hay tập hợp quỹ tích của điểm \(M\) là đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(H\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2k8 Tham gia ngay group chia sẻ, trao đổi tài liệu học tập miễn phí

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.