Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,\,\,AC = a\) và \(\angle A = {120^0}\). Gọi \(M\) là rung điểm của \(AC\)

Câu hỏi số 476437:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,\,\,AC = a\) và \(\angle A = {120^0}\). Gọi \(M\) là rung điểm của \(AC\) và \(N\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(\overrightarrow {BN} = x\overrightarrow {BC} \). Giá trị của \(x\) để \(AN \bot BM\) là

A. \(x = - \dfrac{3}{4}\)

B. \(x = \dfrac{3}{4}\)

C. \(x = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{3}\)

D. \(x = - \dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476437

Phương pháp giải

Biểu diễn hai vecto \(\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {BM} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \).

\(AN \bot BM \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {AN} \,.\,\overrightarrow {BM} = 0\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {BC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} \end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \)\(\left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} \)\( = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = \)\(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}AN \bot BM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right]\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \left( {1 - x} \right).A{B^2} + \dfrac{x}{2}A{C^2} - x\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 - x} \right).AB.AC.\cos \angle BAC - \left( {1 - x} \right).A{B^2} + \dfrac{x}{2}A{C^2} - x.\dfrac{1}{2}.AB.AC.\cos \angle BAC = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 - x} \right).2a.a.\cos {120^0} - \left( {1 - x} \right).{a^2} + \dfrac{x}{2}{\left( {2a} \right)^2} - x\dfrac{1}{2}.a.2a.\cos {120^0} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\dfrac{{{a^2}}}{2} + \left( {x - 1} \right){a^2} + \dfrac{x}{2} \cdot 2{a^2} + \left( {1 - x} \right) + x\dfrac{{{a^2}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) + \dfrac{{x - 1}}{2} + x + 1 - x + x = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 3 + x - 1 + x + 1 - x + x = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10