Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,\,\,AC = a\) và \(\angle A = {120^0}\). Gọi \(M\) là rung điểm của \(AC\)

Câu hỏi số 476437:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có \(AB = 2a,\,\,AC = a\) và \(\angle A = {120^0}\). Gọi \(M\) là rung điểm của \(AC\) và \(N\) là điểm thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(\overrightarrow {BN} = x\overrightarrow {BC} \). Giá trị của \(x\) để \(AN \bot BM\) là

A. \(x = - \dfrac{3}{4}\)

B. \(x = \dfrac{3}{4}\)

C. \(x = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{3}\)

D. \(x = - \dfrac{2}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476437

Phương pháp giải

Biểu diễn hai vecto \(\overrightarrow {AN} ,\,\,\overrightarrow {BM} \) qua \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \).

\(AN \bot BM \Leftrightarrow \)\(\overrightarrow {AN} \,.\,\overrightarrow {BM} = 0\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {BC} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} + x\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} \end{array}\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AN} = \)\(\left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} \)

\(\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AM} \)\( = \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AB} = \)\(\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} \)

Theo đề bài, ta có:

\(\begin{array}{l}AN \bot BM \Leftrightarrow \overrightarrow {AN} .\overrightarrow {BM} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} + x\overrightarrow {AC} } \right]\left( {\dfrac{1}{2}\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 - x} \right)\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} - \left( {1 - x} \right).A{B^2} + \dfrac{x}{2}A{C^2} - x\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 - x} \right).AB.AC.\cos \angle BAC - \left( {1 - x} \right).A{B^2} + \dfrac{x}{2}A{C^2} - x.\dfrac{1}{2}.AB.AC.\cos \angle BAC = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {1 - x} \right).2a.a.\cos {120^0} - \left( {1 - x} \right).{a^2} + \dfrac{x}{2}{\left( {2a} \right)^2} - x\dfrac{1}{2}.a.2a.\cos {120^0} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\dfrac{{{a^2}}}{2} + \left( {x - 1} \right){a^2} + \dfrac{x}{2} \cdot 2{a^2} + \left( {1 - x} \right) + x\dfrac{{{a^2}}}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) + \dfrac{{x - 1}}{2} + x + 1 - x + x = 0\\ \Leftrightarrow 2x - 3 + x - 1 + x + 1 - x + x = 0\\ \Leftrightarrow 4x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{3}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.