Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,2} \right)\). Tìm \(M\) thuộc trục tung sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất.

Câu 476438: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,2} \right)\). Tìm \(M\) thuộc trục tung sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất.

A. \(M\left( {0;\,\,\dfrac{1}{2}} \right)\)

B. \(M\left( {1;\,\,\dfrac{1}{2}} \right)\)

C. \(M\left( {0;\,\,1} \right)\)

D. \(M\left( {\dfrac{1}{2};\,0} \right)\)

Câu hỏi : 476438

Phương pháp giải:

Gọi \(M\left( {0;a} \right) \in Oy\).

\(\overrightarrow {MA} = \left( {1;\,\, - 1 - a} \right) \Rightarrow \)\(MA = \sqrt {1 + {{\left( {1 + a} \right)}^2}} \)

\(\overrightarrow {MB} = \left( {3;\,\,2 - a} \right) \Rightarrow \)\(MB = \sqrt {9 + {{\left( {2 - a} \right)}^2}} \)

Sau đó, sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm \(a\).

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(M \in Oy\)\( \Rightarrow M\left( {0;\,\,a} \right) \Rightarrow \)\(\overrightarrow {MA} = \left( {1;\,\, - 1 - a} \right),\)\(\overrightarrow {MB} = \left( {3;\,\,2 - a} \right)\)

Ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} = \)\({1^2} + {\left( {1 + a} \right)^2} + {3^2} + {\left( {2 - a} \right)^2}\)\( = 2{a^2} - 2a + 15 = \)\(2{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{29}}{2}\)

Ta có : \({\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a\)

\( \Rightarrow 2{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{29}}{2} \ge 0\) với mọi \(a\)

\( \Rightarrow M{A^2} + M{B^2}\)\( \ge \dfrac{{29}}{2}\)với mọi \(a\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(M\left( {0;\, \dfrac{1}{2}} \right)\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây