Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,2}

Câu hỏi số 476438:

Vận dụng cao

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;\,\, - 1} \right)\) và \(B\left( {3;\,\,2} \right)\). Tìm \(M\) thuộc trục tung sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) nhỏ nhất.

A. \(M\left( {0;\,\,\dfrac{1}{2}} \right)\)

B. \(M\left( {1;\,\,\dfrac{1}{2}} \right)\)

C. \(M\left( {0;\,\,1} \right)\)

D. \(M\left( {\dfrac{1}{2};\,0} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476438

Phương pháp giải

Gọi \(M\left( {0;a} \right) \in Oy\).

\(\overrightarrow {MA} = \left( {1;\,\, - 1 - a} \right) \Rightarrow \)\(MA = \sqrt {1 + {{\left( {1 + a} \right)}^2}} \)

\(\overrightarrow {MB} = \left( {3;\,\,2 - a} \right) \Rightarrow \)\(MB = \sqrt {9 + {{\left( {2 - a} \right)}^2}} \)

Sau đó, sử dụng dữ kiện của đề bài để tìm \(a\).

Giải chi tiết

\(M \in Oy\)\( \Rightarrow M\left( {0;\,\,a} \right) \Rightarrow \)\(\overrightarrow {MA} = \left( {1;\,\, - 1 - a} \right),\)\(\overrightarrow {MB} = \left( {3;\,\,2 - a} \right)\)

Ta có:

\(M{A^2} + M{B^2} = \)\({1^2} + {\left( {1 + a} \right)^2} + {3^2} + {\left( {2 - a} \right)^2}\)\( = 2{a^2} - 2a + 15 = \)\(2{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{29}}{2}\)

Ta có : \({\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a\)

\( \Rightarrow 2{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{29}}{2} \ge 0\) với mọi \(a\)

\( \Rightarrow M{A^2} + M{B^2}\)\( \ge \dfrac{{29}}{2}\)với mọi \(a\).

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(a - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}\).

Vậy \(M\left( {0;\, \dfrac{1}{2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.