Cho phương trình \(\dfrac{1}{2}{x^2} = x + {m^2}(m\) là tham số). Chứng minh phương trình đã cho luôn

Câu hỏi số 476445:

Vận dụng

Cho phương trình \(\dfrac{1}{2}{x^2} = x + {m^2}(m\) là tham số). Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)với mọi \(m \in \mathbb{R}\). Tìm các giá trị của \(m\) để \({x_1} = \sqrt[3]{{20 - x_2^3}}\).

A. \(m = 1\)

B. \(m = 0\)

C. \(m = \pm 1\)

D. \(m = \pm \sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476445

Phương pháp giải

Sử dụng hệ thức Vi-et.

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{1}{2}{x^2} = x + {m^2}\)\( \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2{m^2} = 0 \left( 1 \right)\)

\(\Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 2{m^2}} \right) = 2{m^2} + 1 > 0\,,\,\,\forall m \Rightarrow \)phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng hệ thức

Vi – et :\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} = - 2{m^2}\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{x_1} = \sqrt[3]{{20 - x_2^3}} \Leftrightarrow x_1^3 = 20 - x_2^3 \Leftrightarrow x_1^3 + x_2^3 = 20\\ \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 3{x_1}{x_2}} \right] - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left[ {{2^2} - 3.\left( { - 2{m^2}} \right)} \right] - 20 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {4 + 6{m^2}} \right) - 20 = 0 \Leftrightarrow 6{m^2} = 6 \Leftrightarrow {m^2} = 1 \Leftrightarrow m = \pm 1\end{array}\)

Vậy \(m = \pm 1\).

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link