Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), có đường

Câu hỏi số 476453:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn \(ABC\left( {AB < AC} \right)\)nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\), có đường cao \(AH.\) Gọi \(I\) là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác \(ABC.\) Đường thẳng \(AI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai \(M.\) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\). Đường thẳng \(MA'\) cắt các đường thẳng \(AH,BC\) theo thứ tự tại \(N\) và \(K.\) Gọi \(L\) là giao điểm của \(MA\) và \(BC.\) Đường thẳng \(A'I\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm thứ hai là \(D.\) Hai đường thẳng \(AD\) và \(BC\) cắt nhau tại điểm \(S\)

1) Chứng minh tam giác \(ANA'\) là tam giác cân và \(MA'.MK = ML.MA\).

2) Chứng minh \(M{I^2} = ML.MA\) và tứ giác \(NHIK\)là tứ giác nội tiếp.

3) Gọi \(T\) là trung điểm của cạnh \(SA,\)chứng mnh ba điểm \(T,I,K\) thẳng hàng.

4) Chứng minh nếu \(AB + AC = 2BC\) thì \(I\) là trọng tâm của tam giác \(AKS\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476453

Phương pháp giải

1. Tam giác có đường cao đồng thời là đường phân giác là tam giác cân

2. Chứng minh \(MI = MC\) và \(M{C^2} = ML.MA \Rightarrow M{I^2} = ML.MA\), sau đó chứng minh hai góc \(\angle NIK = \angle NHK = {90^0}.\)

3. Chứng minh \(\angle TIA = \angle MIK\) suy ra ba điểm \(T,I,K\) thẳng hàng.

4. Để chứng minh \(I\) là trọng tâm của tam giác \(AKS\), ta chứng minh \(L\) là trung điểm của \(SK\)và \(\dfrac{{AI}}{{IL}} = 2\).

Giải chi tiết

1. Chứng minh tam giác \(ANA'\) là tam giác cân và \(MA'.MK = ML.MA\).

Ta có \(\angle A'AC = 90^\circ - \angle AA'C = 90^\circ - \angle ABC = \angle BAH\) mà \(AI\) là phân giác của góc \(BAC\) nên \(AI\) là phân giác góc \(\angle NAA'\). Mặt khác do \(AM \bot MA' \Rightarrow \Delta ANA'\) cân tại \(A\).

Dễ thấy hai tam giác vuông \(AHL\) và \(KML\) đồng dạng với nhau, suy ra \(\angle HAL = \angle MKL\)

Mà \(\angle HAL = \angle A'AL \Rightarrow \angle MKL = \angle A'AL\)

Suy ra \(\Delta MKL \sim \Delta MAA' \Rightarrow MA'.MK = ML.MA\).

2. Chứng minh \(M{I^2} = ML.MA\) và tứ giác \(NHIK\)là tứ giác nội tiếp.

\(\begin{array}{l}\angle MIC = \angle MAC + \angle ACI = \angle MCB + \angle BCI = \angle MCI \Rightarrow MI = MC\\\Delta MCL \sim \Delta MAC(g.g) \Rightarrow ML.MA = M{C^2} \Rightarrow ML.MA = M{I^2}\\MN.MK = MA'.MK = ML.MA = M{I^2} \Rightarrow \Delta IMN \sim \Delta KIN(g.g) \Rightarrow \angle NIK = {90^0}\end{array}\)

\(\angle NIK = \angle NHK = {90^0} \Rightarrow \)Tứ giác \(NHIK\) nội tiếp.

3. Gọi \(T\) là trung điểm của cạnh \(SA,\)chứng minh ba điểm \(T,I,K\) thẳng hàng.

Tứ giác \(NHIK\)nội tiếp suy ra \(\angle IHK = \angle INK = \angle IA'M = \angle IAD\)

Suy ra \(AIHS\) là tứ giác nội tiếp, do đó \(\angle AIS = \angle AHS = 90^\circ \)

\(\angle TIA = \angle TAI = \angle INK\)

\( \Rightarrow \angle TIA = \angle MIK,\)suy ra ba điểm \(T,I,K\) thẳng hàng.

4. Chứng minh nếu \(AB + AC = 2BC\) thì \(I\) là trọng tâm của tam giác \(AKS\).

Ta có: \(\dfrac{{AI}}{{IL}} = \dfrac{{AB}}{{BL}} = \dfrac{{AC}}{{CL}} = \dfrac{{AB + AC}}{{BL + CL}} = \dfrac{{2BC}}{{BC}} = 2\)

Kẻ \(LE//SA\left( {E \in TK} \right).\)Ta có: \(\dfrac{{LE}}{{AT}} = \dfrac{{IL}}{{IA}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{LE}}{{ST}} = \dfrac{1}{2}\)

Suy ra \(L\) là trung điểm của \(SK\)mà \(\dfrac{{AI}}{{IL}} = 2\) nên \(I\) là trọng tâm của tam giác \(ASK\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link