Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn \({2^x} - {y^2} + 4y + 61 =

Câu hỏi số 476454:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn \({2^x} - {y^2} + 4y + 61 = 0\).

A. \(\left( {10;35} \right)\) và \(\left( {4;\,\,11} \right).\)

B. \(\left( {10;35} \right)\) và \(\left( {2;\,\,11} \right).\)

C. \(\left( {5;35} \right)\) và \(\left( {4;\,\,11} \right).\)

D. \(\left( {5;35} \right)\) và \(\left( {2;\,\,11} \right).\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476454

Phương pháp giải

Một số chính phương khi chia \(5\) có thể dư \(0,1,4.\) Từ đó suy ra \(x\) chẵn, đưa về phương trình tích của hai số nguyên bằng một số nguyên biết trước.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {2^x} + 65 = {\left( {y - 2} \right)^2}\)

Vì 65 chia hết cho 5 và \({2^x}\)không chia hết cho 5 với mọi \(x\) nguyên dương nên nếu cặp số nguyên dương \(\left( {x;y} \right)\)thỏa mãn phương trình \(\left( 1 \right)\)thì \(y - 2\)là số nguyên không chia hết cho 5. Suy ra \({\left( {y - 2} \right)^2}\) chia \(5\) dư \(1\) hoặc \(4\).

Do đó \({2^x}\) chia \(5\) dư \(1\) hoặc \(4\).

Nếu \(x\) lẻ, đặt \(x = 2k + 1 \Rightarrow {2^x} = {2^{2k + 1}} = {4^k}.2 \equiv \pm 2\,\left( {\bmod \,5} \right)\), không thỏa mãn.

Vậy \(x\) chẵn, đặt \(x = 2k\).

Thay vào phương trình ta được:

\({2^{2k}} + 65 = {\left( {y - 2} \right)^2} \Leftrightarrow 65 = \left( {y - 2 + {2^k}} \right)\left( {y - 2 - {2^k}} \right) (2)\)

Vì \(k;y\)nguyên dương nên \(y - 2 + {2^k} > 0,\)từ (2) suy ra \(y - 2 - {2^k} > 0\)và \(y - 2 + {2^k} > y - 2 - {2^k}\). Do đó:

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}y - 2 + {2^k} = 65\\y - 2 - {2^k} = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}y - 2 + {2^k} = 13\\y - 2 - {2^k} = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}k = 5\\y = 35\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}k = 2\\y = 11\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 10\\y = 35\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 11\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm dương là \(\left( {10;35} \right)\) và \(\left( {4;\,\,11} \right).\)

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link