Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 3\) và
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 3\) và \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I = \int\limits_0^2 {x.f'\left( x \right)dx} \).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.\).
- Sử dụng giả thiết \(f\left( 0 \right) = 3\) và \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\) tính \(f\left( 2 \right)\).
- Từ \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\) lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế, sau đó tính \(\int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} \) bằng phương pháp đưa biến vào vi phân.
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \int\limits_0^2 {x.f'\left( x \right)dx} = \left. {xf\left( x \right)} \right|_0^2 - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \end{array}\).
Theo bài ra ta có \(f\left( x \right) + f\left( {2 - x} \right) = {x^2} - 2x + 2\). Thay \(x = 0\) \( \Rightarrow f\left( 0 \right) + f\left( 2 \right) = 2 \Rightarrow f\left( 2 \right) = 2 - f\left( 0 \right) = - 1\).
Lấy tích phân từ 0 đến 2 hai vế ta có \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)dx} = \dfrac{8}{3}\).
Mà \(\int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)dx} = - \int\limits_0^2 {f\left( {2 - x} \right)d\left( {2 - x} \right)} = - \int\limits_2^0 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \).
\( \Rightarrow 2\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{8}{3} \Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{4}{3}\).
Vậy \( \Rightarrow I = 2f\left( 2 \right) - \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 2.\left( { - 1} \right) - \dfrac{4}{3} = - \dfrac{{10}}{3}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
