Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tạ \(A\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm

Câu hỏi số 477172:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tạ \(A\). Tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy \(\left( {ABC} \right)\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(CM = 2MS\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BM\) bằng \(\dfrac{{4\sqrt {21} }}{7}\). Thể tích của khối tứ diện \(C.ABM\) bằng:

A. \(\dfrac{{32\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{32\sqrt 3 }}{9}\)

C. \(32\sqrt 3 \)

D. \(\dfrac{{16\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:477172

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), do tam giác \(SAB\) đều nên \(SH \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right) = AB\\SH \subset \left( {SAB} \right),\,\,SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Dựng hình vuông \(ABFC\) ta có \(BF//AC \Rightarrow AC//\left( {BMF} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {AC;BM} \right) = d\left( {AC;\left( {BMF} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BMF} \right)} \right)\).

Lại có \(AH \cap \left( {BMF} \right) = B\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {BMF} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {BMF} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} = 2 \Rightarrow d\left( {A;\left( {BMF} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {BMF} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {SHC} \right)\) kẻ \(ME//SH\,\,\left( {E \in CH} \right) \Rightarrow ME \bot \left( {ABC} \right)\).

Kéo dài \(HC\) cắt \(BF\) tại \(N\), áp dụng định lí Ta-lét ta có \(\dfrac{{BH}}{{FC}} = \dfrac{{NH}}{{NC}} = \dfrac{{NB}}{{NF}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(NC\)

\( \Rightarrow ACBN\) là hình bình hành.

Ta có: \(HE \cap \left( {BMF} \right) = N\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {BMF} \right)} \right)}}{{d\left( {E;BMF} \right)}} = \dfrac{{HN}}{{EN}} = \dfrac{{HC}}{{HE + HC}}\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{HE}}{{HC}} = \dfrac{{SM}}{{SC}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow HE = \dfrac{1}{3}HC\).

\( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {H;\left( {BMF} \right)} \right)}}{{d\left( {E;BMF} \right)}} = \dfrac{{HN}}{{EN}} = \dfrac{{HC}}{{HE + HC}} = \dfrac{{HC}}{{\dfrac{1}{3}HC + HC}} = \dfrac{3}{4}\) \( \Rightarrow d\left( {H;\left( {BMF} \right)} \right) = \dfrac{3}{4}d\left( {E;\left( {BMF} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {AC;BM} \right) = d\left( {A;\left( {BMF} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {E;\left( {BMF} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(EI//AB\,\,\left( {I \in BF} \right)\), trong \(\left( {MEI} \right)\) kẻ \(EJ \bot IM\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BF \bot AB,\,\,\,EI//AB \Rightarrow BF \bot EI\\BF \bot ME\,\,\left( {ME \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BF \bot \left( {MEI} \right) \Rightarrow BF \bot EJ\\\left\{ \begin{array}{l}EJ \bot BF\\EJ \bot MI\end{array} \right. \Rightarrow EJ \bot \left( {BMF} \right) \Rightarrow d\left( {E;\left( {BMF} \right)} \right) = EJ\end{array}\)

\( \Rightarrow d\left( {AC;BM} \right) = \dfrac{3}{2}d\left( {E;\left( {BMF} \right)} \right) = \dfrac{3}{2}EJ = \dfrac{{4\sqrt {21} }}{7} \Rightarrow EJ = \dfrac{8}{{\sqrt {21} }}\).

Ta có: \(\dfrac{{ME}}{{SH}} = \dfrac{{CM}}{{CS}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow ME = \dfrac{2}{3}SH\). Mà \(SH = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow ME = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{3}\).

Ta có: \(\dfrac{{HN}}{{EN}} = \dfrac{3}{4}\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{NE}}{{NH}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \dfrac{{NE}}{{NC}} = \dfrac{2}{3} = \dfrac{{IE}}{{FC}} = \dfrac{{IE}}{{AB}}\) \( \Rightarrow IE = \dfrac{2}{3}AB\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(MEI\) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{E{J^2}}} = \dfrac{1}{{E{I^2}}} + \dfrac{1}{{E{M^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{21}}{{64}} = \dfrac{1}{{\dfrac{4}{9}A{B^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{1}{3}A{B^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{{21}}{{64}} = \dfrac{{21}}{{4A{B^2}}}\\ \Leftrightarrow AB = 4\end{array}\)

\( \Rightarrow ME = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3},\,\,{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}A{B^2} = 8\).

Vậy \({V_{C.ABM}} = \dfrac{1}{3}ME.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}.8 = \dfrac{{32\sqrt 3 }}{9}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.