Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}dx} = \dfrac{a}{b}\) với \(a,\,\,b \in

Câu hỏi số 477953:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}dx} = \dfrac{a}{b}\) với \(a,\,\,b \in \mathbb{N}\) và \(\dfrac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khẳng định nào đúng?

A. \(a - b < - 19\)

B. \(135a = 116b\)

C. \(a + b = 19\)

D. \({a^2} + {b^2} = 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:477953

Phương pháp giải

Đổi biến \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {1 + 3\ln x} \Rightarrow {t^2} = 1 + 3\ln x \Rightarrow 2tdt = 3\dfrac{{dx}}{x}\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = e \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^e {\dfrac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}dx} = \int\limits_1^2 {t.\dfrac{{{t^2} - 1}}{3}.\dfrac{{2tdt}}{3}} \\ = \dfrac{2}{9}\int\limits_1^2 {\left( {{t^2} - 1} \right){t^2}dt} = \dfrac{2}{9}\int\limits_1^2 {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt} \\ = \dfrac{2}{9}\left. {\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_1^2 = \dfrac{2}{9}\left( {\dfrac{{56}}{{15}} + \dfrac{2}{{15}}} \right) = \dfrac{{116}}{{135}}\\ \Rightarrow a = 116,\,\,b = 135\end{array}\)

Vậy \(135a = 116b\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.