Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{3}}

Câu hỏi số 477963:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right]\), biết \(F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {xF\left( x \right)dx} = 1\). Khi đó kết quả là \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {{x^2}f\left( x \right)dx} \) là:

A. \(I = \dfrac{{{\pi ^2} - 2}}{9}\)

B. \(I = \dfrac{{{\pi ^2} + 2}}{9}\)

C. \(I = \dfrac{{{\pi ^2} - 18}}{9}\)

D. \(I = \dfrac{{{\pi ^2} + 18}}{9}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:477963

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = F\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right.\).

- Sử dụng: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = F\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = F'\left( x \right)dx = f\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {xF\left( x \right)dx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}F\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {{x^2}f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow 1 = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{18}}F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) - \dfrac{1}{2}I\\ \Leftrightarrow 1 = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{18}} - \dfrac{1}{2}I\\ \Leftrightarrow 18 = {\pi ^2} - 9I\\ \Leftrightarrow I = \dfrac{{{\pi ^2} - 18}}{9}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.