Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right]\), biết \(F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {xF\left( x \right)dx} = 1\). Khi đó kết quả là \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {{x^2}f\left( x \right)dx} \) là:

Câu 477963: Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) trên \(\left[ {0;\dfrac{\pi }{3}} \right]\), biết \(F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = 1\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {xF\left( x \right)dx} = 1\). Khi đó kết quả là \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {{x^2}f\left( x \right)dx} \) là:

A. \(I = \dfrac{{{\pi ^2} - 2}}{9}\)

B. \(I = \dfrac{{{\pi ^2} + 2}}{9}\)

C. \(I = \dfrac{{{\pi ^2} - 18}}{9}\)

D. \(I = \dfrac{{{\pi ^2} + 18}}{9}\)

Câu hỏi : 477963

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = F\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right.\).

- Sử dụng: \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thì \(F'\left( x \right) = f\left( x \right)\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = F\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = F'\left( x \right)dx = f\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {xF\left( x \right)dx} = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}F\left( x \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{3}} - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {{x^2}f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow 1 = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{18}}F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) - \dfrac{1}{2}I\\ \Leftrightarrow 1 = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{18}} - \dfrac{1}{2}I\\ \Leftrightarrow 18 = {\pi ^2} - 9I\\ \Leftrightarrow I = \dfrac{{{\pi ^2} - 18}}{9}\end{array}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.