Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm \(\sqrt x + \sqrt {9 - x} = \sqrt { - {x^2} + 9x + m}

Câu hỏi số 478352:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) để phương trình sau có nghiệm

\(\sqrt x + \sqrt {9 - x} = \sqrt { - {x^2} + 9x + m} \)

A. \(m = 9\)

B. \(m \in \left[ {9;10} \right]\)

C. \(m \in \left( {9;10} \right)\)

D. \(m = 10\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478352

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Bình phương hai vế, đặt ẩn phụ \(t = \sqrt { - {x^2} + 9x} \), tìm điều kiện của \(t\).

- Sử dụng định lí Vi-ét tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(t\) thỏa mãn điều kiện tìm được ở trên.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\9 - x \ge 0\\ - {x^2} + 9x + m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\ - {x^2} + 9x + m \ge 0\end{array} \right.\).

Xét \( - {x^2} + 9x + m \ge 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 9x \ge - m\).

Ta có \( - {x^2} + 9x = - \left( {{x^2} - 2.x.\dfrac{9}{2} + \dfrac{{81}}{4}} \right) + \dfrac{{81}}{4} = - {\left( {x - \dfrac{9}{2}} \right)^2} + \dfrac{{81}}{4} \le \dfrac{{81}}{4}\)

\( \Rightarrow - {x^2} + 9x \ge - m\) có nghiệm khi và chỉ khi \( - m \le \dfrac{{81}}{4} \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{{81}}{4}\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sqrt x + \sqrt {9 - x} = \sqrt { - {x^2} + 9x + m} \\ \Rightarrow {\left( {\sqrt x + \sqrt {9 - x} } \right)^2} = - {x^2} + 9x + m\\ \Leftrightarrow x + 9 - x + 2\sqrt { - {x^2} + 9x} = - {x^2} + 9x + m\\ \Leftrightarrow 2\sqrt { - {x^2} + 9x} + 9 = - {x^2} + 9x + m\\ \Leftrightarrow \left( { - {x^2} + 9x} \right) - 2\sqrt { - {x^2} + 9x} + m - 9 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt { - {x^2} + 9x} \) \( \Rightarrow 0 \le t \le \sqrt {\dfrac{{81}}{4}} \Rightarrow 0 \le t \le \dfrac{9}{2}\).

Khi đó phương trình (*) trở thành \({t^2} - 2t + m - 9 = 0\) có nghiệm \(t \in \left[ {0;\dfrac{9}{2}} \right]\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\0 \le {t_1} + {t_2} \le 9\\{t_1}{t_2} \ge 0\\\left( {{t_1} - \dfrac{9}{2}} \right)\left( {{t_2} - \dfrac{9}{2}} \right) \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - m + 9 \ge 0\\0 \le 2 \le 9\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m - 9 \ge 0\\m - 9 - \dfrac{9}{2}.2 + \dfrac{{81}}{4} \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 10\\m \ge 9\\m \ge - \dfrac{9}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow 9 \le m \le 10\end{array}\)

Kết hợp điều kiện (1) ta có \(m \in \left[ {9;10} \right]\).

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.