Trong không gian \(Oxyz\), cho các đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z -

Câu hỏi số 479031:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho các đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x - 2}}{{ - 3}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 4}}{{ - 2}}\) và \(\Delta :\,\,\dfrac{{x - 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{1} = \dfrac{{z + 1}}{2}\). Biết rằng trong tất cả các mặt phẳng chứa \(\Delta \) thì mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,ax + by + cz + 25 = 0\) tạo với \(d\) góc lớn nhất. Tính \(T = a + b + c\).

A. \(T = 9\)

B. \(T = 5\)

C. \(T = - 8\)

D. \(T = - 7\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479031

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là điểm bất kì thuộc \(\Delta \).

Gọi \(d'\) là đường thẳng qua \(M\) và song song với \(d\). Khi đó ta có \(\angle \left( {d;\left( P \right)} \right) = \angle \left( {d';\left( P \right)} \right)\).

Lấy \(S \in d'\) bất kì, kẻ \(SH \bot \Delta ,\,\,SK \bot \left( P \right)\).

\( \Rightarrow KM\) là hình chiếu vuông góc của \(SM\) lên \(\left( P \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {d;\left( P \right)} \right) = \angle \left( {d';\left( P \right)} \right) = \left( {SM;KM} \right) = \angle SMK = \alpha \).

Xét tam giác vuông \(SMK\) ta có \(\sin \alpha = \dfrac{{SK}}{{SM}}\).

Để \(\alpha \) nhỏ nhất thì \(\sin \alpha \) nhỏ nhất \( \Rightarrow \dfrac{{SK}}{{SM}}\) nhỏ nhất.

Ta có \(SM \ge SH\) \( \Rightarrow \dfrac{{SK}}{{SM}} \ge \dfrac{{SH}}{{SM}} \Rightarrow \sin \alpha \ge \dfrac{{SH}}{{SM}}\).

Ta có \(S,\,\,\left( P \right),\,\,\Delta \) cố định \( \Rightarrow SH,\,\,SK\) không đổi.

\( \Rightarrow {\left( {\sin \alpha } \right)_{\min }} = \dfrac{{SH}}{{SM}} \Leftrightarrow H \equiv M\).

Khi đó \(\left( P \right)\) chứa \(\Delta \) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( {d';\Delta } \right)\).

Lấy \(M\left( {1;2; - 1} \right) \in \Delta \), phương trình đường thẳng \(d'\) là \(d':\,\,\dfrac{{x - 1}}{{ - 3}} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\).

Gọi \(\left( R \right)\) là mặt phẳng chứa \(d',\,\,\Delta \) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {{u_{d'}}} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {6;0; - 9} \right) = 3\left( {2;0; - 3} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \subset \left( P \right)\\\left( R \right) \bot \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \\\overrightarrow {{n_P}} \bot \overrightarrow {{n_R}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_R}} } \right] = \left( { - 3;13; - 2} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\): \( - 3\left( {x - 1} \right) + 13\left( {y - 2} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - 13y + 2z + 25 = 0\).

\( \Rightarrow a = 3,\,\,b = - 13,\,\,c = 2\).

Vậy \(T = a + b + c = 3 - 13 + 2 = - 8\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.