Cho các số thực \(b,\,\,c\) sao cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm phức
Cho các số thực \(b,\,\,c\) sao cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} - 4 + 3i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} - 8 - 6i} \right| = 4\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Phương trình bậc hai với hệ số thực có 2 nghiệm phức thì chúng là số phức liên hợp của nhau.
- Sử dụng \(\overline {{z_1} + {z_2}} = \overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} \).
- Sử dụng phương pháp hình học tìm số phức \({z_1}\).
- Áp dụng định lí Vi-ét để tìm \(b,\,\,c\).
Vì \({z_1},\,\,{z_2}\) là hai nghiệm phức của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) nên \({z_2} = \overline {{z_1}} \).
Khi đó ta có \(\left| {{z_2} - 8 - 6i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {\overline {{z_1}} - 8 - 6i} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| {{z_1} - 8 + 6i} \right| = 4\).
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\).
\( \Rightarrow M\) vừa thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) tâm \({I_1}\left( {4; - 3} \right)\), bán kính \({R_1} = 1\) và đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) tâm \({I_2}\left( {8; - 6} \right)\), bán kính \({R_2} = 4\).
\( \Rightarrow m \in \left( {{C_1}} \right) \cap \left( {{C_2}} \right)\).
Ta có \({I_1}{I_2} = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5 = {R_1} + {R_2} \Rightarrow \left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài.
Do đó có duy nhất \(1\) điểm \(M\) thỏa mãn, tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} - 8x + 6y + 24 = 0\\{x^2} + {y^2} - 16x + 12y + 84 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{{24}}{5}\\y = - \dfrac{{18}}{5}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{24}}{5}; - \dfrac{{18}}{5}} \right)\) \( \Rightarrow {z_1} = \dfrac{{24}}{5} - \dfrac{{18}}{5}i\) là nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\).
\( \Rightarrow {z_2} = \dfrac{{24}}{5} + \dfrac{{18}}{5}i\) cũng là nghiệm của phương trình \({z^2} + bz + c = 0\).
Áp dụng định lí Vi-ét ta có \({z_1} + {z_2} = - b = \dfrac{{48}}{5} \Rightarrow b = - \dfrac{{48}}{5}\), \({z_1}{z_2} = c = 36\).
Vậy \(5b + c = - 48 + 36 = - 12\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
