Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(xf'\left( x \right) = {e^x}

Câu hỏi số 479240:

Thông hiểu

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), \(xf'\left( x \right) = {e^x} - 1,\,\) \(\forall x \in \mathbb{R},\) \(f\left( 1 \right) = 0\). Giá trị \(\int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} \)bằng

A. \( - \dfrac{1}{4}\left( {e - 2} \right)\)

B. \( - \dfrac{1}{4}\)

C. \( - \dfrac{1}{2}\left( {e - 2} \right)\)

D. \(\dfrac{1}{2}\left( {e - 2} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479240

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính tích phân.

Giải chi tiết

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {xf\left( x \right)dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}f\left( 1 \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} - 1} \right)dx} = - \dfrac{1}{2}J\end{array}\)

Ta có \(J = \int\limits_0^1 {x\left( {{e^x} - 1} \right)dx} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} - \int\limits_0^1 {xdx} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} - \dfrac{1}{2}\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = {e^x}dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = dx\\v = {e^x}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx} = e - \left( {e - 1} \right) = 1\).

Vậy \(I = - \dfrac{1}{2}\left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{1}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.