Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{x\,dx}}{{1 - {{\sin }^2}x}}} = \dfrac{\pi }{a} - \ln b + \ln \sqrt 2

Câu hỏi số 479239:

Thông hiểu

Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{x\,dx}}{{1 - {{\sin }^2}x}}} = \dfrac{\pi }{a} - \ln b + \ln \sqrt 2 ;\,\,a,b \in {\mathbb{N}^*}\). Giá trị \(a + 3b\) bằng

A. \(4\)

B. \(8\)

C. \(12\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479239

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Ta có \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{xdx}}{{1 - {{\sin }^2}x}}} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{xdx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = u\\dv = \dfrac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}dx = du\\v = \tan x\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = \left. {x\tan x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan xdx} = \dfrac{\pi }{4} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{\pi }{4} + \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{\cos x}}} = \dfrac{\pi }{4} + \left. {\ln \left| {\cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{\pi }{4} + \ln \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{\pi }{4} + \ln \sqrt 2 - \ln 2\\ \Rightarrow a = 4,\,\,b = 2\end{array}\)

Vậy \(a + 3b = 10\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.