Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\angle BAD = {60^0},\) \(SA \bot \left(

Câu hỏi số 479248:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), góc \(\angle BAD = {60^0},\) \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\), \(\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^0}\). Gọi \(I\) là trung điểm \(SC\). Tính khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{{15}}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\)

C. \(\dfrac{{2a\sqrt {15} }}{5}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479248

Phương pháp giải

- Đổi khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( {SBD} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\).

- Xác định \(\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu vuông góc của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(O = AC \cap BD\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(G = AI \cap SO\) \( \Rightarrow G = AI \cap \left( {SBD} \right)\) và \(G\) là trọng tâm \(\Delta SAC\).

Ta có: \(AI \cap \left( {SBD} \right) = G \Rightarrow \dfrac{{d\left( {I;\left( {SBD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)}} = \dfrac{{IG}}{{AG}} = \dfrac{1}{2}\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SO\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\end{array}\).

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AC\) là hình chiếu cuả \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) \( \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SCA = {45^0}\).

\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại \(A\).

Xét tam giác \(ABD\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AB = AD = a\\\angle BAD = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta ABD\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 3 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAO\) có: \(AH = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \(d\left( {I;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{{10}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.