Cho hình lăng trụ \(ABCD.\,A'B'C'D'\) đáy là hình bình hành. \(AC = BC = a,\) \(CD = a\sqrt 2 ,\) \(AC' =

Câu hỏi số 479249:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ \(ABCD.\,A'B'C'D'\) đáy là hình bình hành. \(AC = BC = a,\) \(CD = a\sqrt 2 ,\) \(AC' = a\sqrt 3 ,\) \(\angle CA'B' = \angle A'D'C = {90^0}\). Thể tích khối tứ diện \(BCDA'\)là

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

B. \({a^3}\)

C. \(\dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

D. \(\sqrt 6 \,{a^3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:479249

Giải chi tiết

Đặt \(AA' = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).

Xét tam giác \(ACD\) có \(A{C^2} + A{D^2} = 2{a^2} = C{D^2} \Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(A\) (định lí Pytago đảo).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AC\\AD \bot CD'\,\,\left( {do\,\,CD' \bot A'D'} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AD \bot \left( {ACD'} \right)\) \( \Rightarrow AD \bot AD'\).

\( \Rightarrow AD{'^2} = DD{'^2} - A{D^2} = {x^2} - {a^2}\).

Ta lại có \(A'{D^2} = AD{'^2} + {\left( {2AD} \right)^2}\)

\( \Rightarrow A'{D^2} = \left( {{x^2} - {a^2}} \right) + 4{a^2} = {x^2} + 3{a^2}\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A'C \bot A'B'\,\,\left( {gt} \right)\\A'B'//CD\end{array} \right. \Rightarrow A'C \bot CD\).

\( \Rightarrow A'{D^2} = A'{C^2} + C{D^2}\).

Ta lại có: \(A'{C^2} + AC{'^2} = 2\left( {AA{'^2} + A{C^2}} \right)\) \( \Rightarrow A'{C^2} + 3{a^2} = 2\left( {{x^2} + {a^2}} \right) \Rightarrow A'{C^2} = 2{x^2} - {a^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2} + 3{a^2} = 2{x^2} - {a^2} + 2{a^2}\\ \Rightarrow {x^2} = 2{a^2} \Rightarrow x = a\sqrt 2 \end{array}\)

\( \Rightarrow A'C = \sqrt {2.2{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3 \), \(CD' = \sqrt {A'{C^2} - A'D{'^2}} = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \), \(AD{'^2} = \sqrt {{x^2} - {a^2}} = a\).

\( \Rightarrow \Delta ACD'\) vuông cân tại \(A\).

Vậy \({V_{BCDA'}} = {V_{A'.BCD}} = {V_{D'.ACD}} = {V_{D.ACD'}} = \dfrac{1}{3}AD.{S_{ACD'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.a.a.a = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.