Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\) và đường

Câu hỏi số 480508:

Thông hiểu

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0\) và đường thẳng \(d:\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\). Biết đường thẳng \(d\) cắt mặt cầu \(\left( S \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Độ dài của đoạn thẳng \(AB\) bằng:

A. \(2\sqrt 5 \)

B. \(\sqrt 5 \)

C. \(\sqrt 3 \)

D. \(2\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:480508

Phương pháp giải

- Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\left( S \right)\\d\end{array} \right.\) tìm tọa độ giao điểm.

- Tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

Giải chi tiết

Tọa độ điểm giao điểm của \(d\) và \(\left( S \right)\) là nghiệm của hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0}\\{x = 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {1 + t} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2t} \right)}^2} - 2\left( {1 + t} \right) - 4\left( {2 - 2t} \right) = 0}\\{x = 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{5{t^2} - 5 = 0}\\{x = 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = 1}\\{t = - 1}\end{array}} \right.}\\{x = 1 + t}\\{y = 2 - 2t}\\{z = 0}\end{array}} \right.\)

Với \(t = 1 \Rightarrow A\left( {2;0;0} \right)\).

Với \(t = - 1 \Rightarrow B\left( {0;4;0} \right)\).

Vậy \(AB = \sqrt {{2^2} + {4^2} + {0^2}} = 2\sqrt 5 \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.