Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\)

Câu hỏi số 480515:

Thông hiểu

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0;1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 4\;\) và \(\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = 3\). Tích phân \(\mathop \smallint \limits_0^1 {x^3}f'\left( {{x^2}} \right)dx\) bằng:

A. \( - 1\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \( - \dfrac{1}{2}\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:480515

Phương pháp giải

Đổi biến, đặt \(t = {x^2}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(I = \mathop \smallint \limits_0^1 {x^3}f'\left( {{x^2}} \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^1 {x^2}f'\left( {{x^2}} \right)xdx\)

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Leftrightarrow xdx = \dfrac{1}{2}dt\).

Đổi cận: \(x = 0 \Leftrightarrow t = 0\), \(x = 1 \Leftrightarrow t = 1\)

Suy ra \(I = \dfrac{1}{2}\mathop \smallint \limits_0^1 tf'\left( t \right)dt\).

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{u = t}\\{dv = f'\left( t \right)dt}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{du = dt}\\{v = f\left( t \right)}\end{array}} \right.\)

Khi đó: \(I = \dfrac{1}{2}\left( {\left. {tf\left( t \right)} \right|_0^1 - \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( t \right)dt} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) - \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {4 - 3} \right) = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.