Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) dương, liên tục trên đoạn \(\left[

Câu hỏi số 480518:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) dương, liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]\), \(\forall x \in \left[ {1;2} \right]\) và \(f\left( 1 \right) = 2\). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng

A. \(3{e^7}\)

B. \(3{e^7} + 1\)

C. \(3{e^7} - 1\)

D. \({e^7}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:480518

Phương pháp giải

- Biến đổi \(\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}} = 3{x^2}\).

- Lấy nguyên hàm hai vế, đưa biến vào vi phân.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]\) \(\forall x \in \left[ {1;2} \right] \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}} = 3{x^2}\)

Xét \(\int {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right) + 1}}dx} = \int {3{x^2}dx} \Leftrightarrow \int {\dfrac{{d\left[ {f\left( x \right) + 1} \right]}}{{f\left( x \right) + 1}}dx} = {x^3} + C \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( x \right) + 1} \right| = {x^3} + C\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow \ln \left| {f\left( 1 \right) + 1} \right| = {1^3} + C \Leftrightarrow C = \ln 3 - 1\).

Vậy \(\ln \left| {f\left( x \right) + 1} \right| = {x^3} + \ln 3 - 1 \Rightarrow \ln \left| {f\left( 2 \right) + 1} \right| = {2^3} + \ln 3 - 1\)

\(f'\left( x \right)\) dương, liên tục trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) mà \(f\left( 1 \right) = 2\) nên \(f\left( 2 \right) > 2\) nên

\(\ln \left| {f\left( 2 \right) + 1} \right| = {2^3} + \ln 3 - 1 \Leftrightarrow f\left( 2 \right) + 1 = {e^{7 + \ln 3}} = 3{e^7} \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = 3{e^7} - 1\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.