Tìm \(m\) để phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + 4\left( {x - 3} \right)\sqrt

Câu hỏi số 481876:

Vận dụng

Tìm \(m\) để phương trình \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) + 4\left( {x - 3} \right)\sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}}} = m\) có nghiệm

A. \(m > - 4\)

B. \(m \ge - 4\)

C. \(m < - 4\)

D. \(m \le - 4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:481876

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Đặt \(t = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}}} \), đưa về phương trình bậc hai ẩn \(t\).

- Tìm điều kiện để phương trình ẩn \(t\) có nghiệm.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}} \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 3\\x \le - 1\end{array} \right.\).

Đặt \(t = \left( {x - 3} \right)\sqrt {\dfrac{{x + 1}}{{x - 3}}} \), suy ra \(\left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = {t^2}\).

Khi đó phương trình có dạng \({t^2} + 4t - m = 0\,\,\left( * \right)\).

Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm \( \Rightarrow \Delta ' = 4 + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 4\).

Giả sử (*) có nghiệm \({t_0}\) thì \(t_0^2 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Với \({t_0} = 0 \Rightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\,\,\left( {ktm} \right)\\x = - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm \(x = - 1\).

Với \({t_0} \ne 0\) ta có \(t_0^2 = \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 - t_0^2 = 0\), có \(\Delta ' = 1 + 3 + t_0^2 = 4 + t_0^2 > 0\,\,\forall {t_0}\).

Khi đó phương trình (*) có nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}x = 1 + \sqrt {4 + t_0^2} > 3\,\,\left( {tm} \right)\\x = 1 - \sqrt {4 + t_0^2} \end{array} \right.\).

Do đó với \({t_0} \ne 0\) thì phương trình ban đầu luôn có nghiệm \(x\) tương ứng thỏa mãn.

Vậy để phương trình ban đầu có nghiệm thì \(m \ge - 4\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.