Cho mặt cầu \(S\left( {O;4} \right)\) cố định. Hình nón \(\left( N \right)\) gọi là nội tiếp mặt

Câu hỏi số 482355:

Vận dụng

Cho mặt cầu \(S\left( {O;4} \right)\) cố định. Hình nón \(\left( N \right)\) gọi là nội tiếp mặt cầu nếu hình nón \(\left( N \right)\) có đường tròn đáy và đỉnh thuộc mặt cầu \(S\left( {O;4} \right)\). Tính bán kính đáy \(r\) của \(\left( N \right)\) để khối nón \(\left( N \right)\) có thể tích lớn nhất.

A. \(r = 3\sqrt 2 \)

B. \(r = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(r = 2\sqrt 2 \)

D. \(r = \dfrac{{8\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482355

Phương pháp giải

- Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón \(\left( N \right)\). Dễ thấy để \({V_{\left( N \right)}}\) lớn nhất thì \(4 < h \le 8\).

- Sử dụng định lí Pytago tính \(r\) theo \(h\).

- Tính \({V_{\left( N \right)}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi f\left( h \right)\).

- Sử dụng phương pháp hàm số tìm \(\mathop {\max }\limits_{\left( {4;8} \right]} f\left( h \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(r,\,\,h\) lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình nón \(\left( N \right)\). Dễ thấy để \({V_{\left( N \right)}}\) lớn nhất thì \(4 < h \le 8\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(r = \sqrt {{4^2} - {{\left( {h - 4} \right)}^2}} = \sqrt {8h - {h^2}} \).

\( \Rightarrow {V_{\left( N \right)}} = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}\pi \left( {8h - {h^2}} \right)h = \dfrac{\pi }{3}\left( {8{h^2} - {h^3}} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( h \right) = 8{h^2} - {h^3}\) với \(h \in \left( {4;8} \right]\) ta có: \(f'\left( h \right) = 16h - 3{h^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\\h = \dfrac{{16}}{3}\end{array} \right.\).

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy \(\mathop {\max }\limits_{\left( {4;8} \right]} f\left( h \right) = f\left( {\dfrac{{16}}{3}} \right)\).

Vậy \({V_{\left( N \right)}}\) đạt GTLN khi \(h = \dfrac{{16}}{3} \Rightarrow r = \dfrac{{8\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.