Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,\,\,b > 1\) và \({a^{2x}} = {b^{2y}} = \sqrt

Câu hỏi số 482357:

Vận dụng

Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,x,\,\,y\) thỏa mãn \(a > 1,\,\,b > 1\) và \({a^{2x}} = {b^{2y}} = \sqrt {ab} \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 6x + {y^2}\) bằng:

A. \(\dfrac{{45}}{4}\)

B. \(3\)

C. \(\dfrac{{54}}{{16}}\)

D. \(\dfrac{{45}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482357

Phương pháp giải

- Từ giả thiết \({a^{2x}} = {b^{2y}} = \sqrt {ab} \) tìm \(x,\,\,y\) theo \({\log _b}a\).

- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _b}a\,\,\left( {t > 0} \right)\), đưa biểu thức \(P\) và dạng hàm số ẩn \(t\).

- Lập BBT và tìm GTNN của \(P\) với \(t > 0\).

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có:

\(\begin{array}{l}{a^{2x}} = {b^{2y}} = \sqrt {ab} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = {\log _a}\sqrt {ab} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\log _a}b\\2y = {\log _b}\sqrt {ab} = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}{\log _b}a\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{{{{\log }_b}a}}\\y = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}.{\log _b}a\end{array} \right.\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _b}a\), vì \(a > 1,\,\,b > 1 \Rightarrow t = {\log _b}a > {\log _b}1 = 0\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{t}\\y = \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}.t\end{array} \right.\,\,\left( {t > 0} \right)\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}P = 6x + {y^2} = 6\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{t}} \right) + {\left( {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}t} \right)^2}\\P = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{t} + \dfrac{1}{{16}} + \dfrac{1}{8}t + \dfrac{1}{{16}}{t^2}\\P = \dfrac{1}{{16}}{t^2} + \dfrac{1}{8}t + \dfrac{3}{{2t}} + \dfrac{{25}}{{16}}\,\,\left( {t > 0} \right)\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}P' = \dfrac{1}{8}t + \dfrac{1}{8} - \dfrac{3}{{2{t^2}}} = \dfrac{{{t^3} + {t^2} - 12}}{{8{t^2}}}\\P' = 0 \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} - 12 = 0 \Leftrightarrow t = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

BBT:

Vậy \({P_{\min }} = P\left( 2 \right) = \dfrac{{45}}{{16}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.