Cho \(a,\;b\) là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\dfrac{2}{b}\). Giá trị

Câu hỏi số 482514:

Vận dụng

Cho \(a,\;b\) là các số thực dương thỏa mãn \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\dfrac{2}{b}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 4{a^3} + {b^3} - 4{\log _2}\left( {4{a^3} + {b^3}} \right)\) là:

A. \(\dfrac{4}{{\ln 2}} - 4{\log _2}\left( {\dfrac{4}{{\ln 2}}} \right)\)

B. \(4\left( {1 - {{\log }_2}3} \right)\)

C. \( - 4\)

D. \(4{\log _2}6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482514

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{1}{2}{\log _2}a = {\log _2}\dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a{b^2} = 4\).

Đặt \(t = 4{a^3} + {b^3}\), áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(t = 4{a^3} + {b^3} = 4{a^3} + \dfrac{1}{2}{b^3} + \dfrac{1}{2}{b^3} \ge 3\sqrt[3]{{4{a^3}.\dfrac{1}{2}{b^3}.\dfrac{1}{2}{b^3}}} = 12\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,\,b > 0\\a{b^2} = 4\\4{a^3} = \dfrac{1}{2}{b^3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.\).

Xét \(g\left( t \right) = t - 4{\log _2}t,\,\,t \ge 12\)

Khi đó \(P = \mathop {\min }\limits_{t \ge 12} g\left( t \right)\). Ta có \(g'\left( t \right) = 1 - 4\dfrac{1}{{t\ln 2}}\)

\(g'\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow t > \dfrac{4}{{\ln 2}} \Rightarrow g'\left( t \right) > 0,\,\,\forall t \ge 12\)

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{t \ge 12} g\left( t \right) = 12 - 4{\log _2}12 = 4\left( {1 - {{\log }_2}3} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.