Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\;\) thỏa mãn \(\mathop

Câu hỏi số 482517:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\;\) thỏa mãn \(\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}dx = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right)dx = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\) và \(f\left( 1 \right) = 0\). Tính \(\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx\).

A. \(e - 2\)

B. \(\dfrac{{{e^2}}}{4}\)

C. \(\dfrac{{e - 1}}{2}\)

D. \(\dfrac{e}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482517

Giải chi tiết

Ta có: \(\dfrac{{{e^2} - 1}}{4} = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right)dx\)\( = \left. {\left[ {x{e^x}f\left( x \right)} \right]} \right|_0^1 - \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^x}f'\left( x \right)dx = - \mathop \smallint \limits_0^1 x{e^x}f'\left( x \right)dx\)

\( \Rightarrow 2\mathop \smallint \limits_0^1 x{e^x}f'\left( x \right)dx = - \dfrac{{{e^2} - 1}}{2}\)

Ta lại có: \(\mathop \smallint \limits_0^1 {x^2}{e^{2x}}dx = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\) và \(\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}dx = \dfrac{{{e^2} - 1}}{4}\).

Khi đó: \(\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2}dx + 2\mathop \smallint \limits_0^1 x{e^x}f'\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_0^1 {x^2}{e^{2x}}dx = 0\)\( \Leftrightarrow \mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right) + x{e^x}} \right]^2}dx = 0\)

Vì \({\left[ {f'\left( x \right) + x{e^x}} \right]^2} \ge 0\;\forall x \in \left[ {0;1} \right]\) và \(f'\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) nên \(\mathop \smallint \limits_0^1 {\left[ {f'\left( x \right) + x{e^x}} \right]^2}dx \ge 0\)

Đẳng thức xảy ra khi \(f'\left( x \right) + x{e^x} = 0 \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - x{e^x} \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {1 - x} \right){e^x} + C\)

Lại có \(f\left( 1 \right) = 0\) nên \(C = 0\).

Vậy \(f\left( x \right) = \left( {1 - x} \right){e^x}\).

Do đó: \(\mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \limits_0^1 \left( {1 - x} \right){e^x}dx = \left. {\left( { - 2x} \right){e^x}} \right|_0^1 = e - 2\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.