Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng \(MN\)

Câu hỏi số 482520:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ tam giác đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh bên bằng cạnh đáy. Đường thẳng \(MN\) (\(M \in A'C,\;N \in BC'\)) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\). Tỉ số \(\dfrac{{NB}}{{NC'}}\) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\)

B. \(1\)

C. \(\dfrac{2}{{23}}\)

D. \(\dfrac{3}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482520

Giải chi tiết

Đặt cạnh hình lăng trụ bằng 2 đơn vị.

Gọi \(O,\;O'\) lần lượt là trung điểm \(AC\), \(A'C'\).

Ta chọn hệ trục tọa độ sao cho \(O\left( {0;0;0} \right)\), \(A\left( {1;0;0} \right)\), \(B\left( {0;\sqrt 3 ,0} \right)\), \(O'\left( {0;0;2} \right)\).

Khi đó \(C\left( { - 1;0;0} \right)\), \(A'\left( {1;0;2} \right)\), \(C'\left( { - 1;0;2} \right)\).

Suy ra phương trình của hai đường thẳng \(A'C\) và \(BC'\) lần lượt là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + t}\\{y = 0}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.,\;\;\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1 + t'}\\{y = \sqrt 3 t'}\\{z = 2 - 2t'}\end{array}} \right.\)

Do đó ta có thể coi \(M\left( {t + 1;0;t + 2} \right)\) và \(N\left( {t' - 1;\;\sqrt 3 t'; - 2t' + 2} \right)\).

Suy ra \(\overrightarrow {NM} = \left( {t - t' + 2; - \sqrt 3 t';t + 2t'} \right)\). Do \(MN\) là đường vuông góc chung của \(A'C\) và \(BC'\) nên \(\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {CA'} = \overrightarrow {NM} .\overrightarrow {C'B} = 0\)

Hay ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2t + t' + 2 = 0}\\{t + 8t' - 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{t = - \dfrac{6}{5}}\\{t' = \dfrac{2}{5}}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(N\left( { - \dfrac{3}{5};\dfrac{{2\sqrt 3 }}{5};\dfrac{6}{5}} \right)\), do đó \(NB = \dfrac{{6\sqrt 2 }}{5}.NC' = \dfrac{{4\sqrt 2 }}{5}\).

Vậy \(\dfrac{{NB}}{{NC'}} = \dfrac{3}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.