Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo bởi các điểm \(0\), \(z\), \(\dfrac{1}{z}\) và \(z +
Trong mặt phẳng phức, xét hình bình hành tạo bởi các điểm \(0\), \(z\), \(\dfrac{1}{z}\) và \(z + \dfrac{1}{z}\). Biết \(z\) có phần thực dương và diện tích hình bình hành bằng \(\dfrac{{35}}{{37}}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \({\left| {z + \dfrac{1}{z}} \right|^2}\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Gọi \(O,\;A,\;B,\;C\) lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức \(0,\;z,\dfrac{1}{z},\;z + \dfrac{1}{z}\).
Khi đó diện tích hình bình hành \(OACB\) là: \(S = OA.OB.\sin \alpha = \left| z \right|.\left| {\dfrac{1}{z}} \right|.\sin \alpha = \dfrac{{35}}{{37}}\)
\( \Leftrightarrow \sin \alpha = \dfrac{{35}}{{37}}\). Suy ra \(\cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \dfrac{{12}}{{37}}\).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \(OAC\) ta có:
\({\left| {z + \dfrac{1}{z}} \right|^2} = O{C^2} = O{A^2} + O{B^2} - 2OA.OB.\cos \alpha \)\( = {\left| z \right|^2} + {\left| {\dfrac{1}{z}} \right|^2} - 2\left| z \right|.\left| {\dfrac{1}{z}} \right|.\cos \alpha \ge 2 - 2\cos \alpha \)
* Nếu \(\cos \alpha = \dfrac{{12}}{{37}}\) thì \({\left| {z + \dfrac{1}{z}} \right|^2} \ge 2 - \dfrac{{2.12}}{{37}} = \dfrac{{50}}{{37}}\)
* Nếu \(\cos \alpha = - \dfrac{{12}}{{37}}\) thì \({\left| {z + \dfrac{1}{z}} \right|^2} \ge 2 + \dfrac{{2.12}}{{37}} = \dfrac{{98}}{{37}}\)
Suy ra \({\left| {z + \dfrac{1}{z}} \right|^2}\) nhỏ nhất bằng \(\dfrac{{50}}{{37}}\) khi \(\left| z \right| = 1\) và \(\cos \alpha = \dfrac{{12}}{{37}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
