Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(a\), \(SA \bot \left( {ABC}

Câu hỏi số 482697:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\), \(SA = 2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\).

a) Chứng minh rằng \(CM \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Tìm tan của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\).

c) Gọi \(P\) là điểm trên cạnh \(AB\) sao cho \(BP = \dfrac{1}{3}AB\). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SPC} \right)\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:482697

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow d \bot \left( P \right)\).

b) - Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tính chất tam giác đều và tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

c) - Đổi \(d\left( {B;\left( {SPC} \right)} \right)\) sang \(d\left( {A;\left( {SPC} \right)} \right)\).

- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot PC\,\,\left( {H \in PC} \right)\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\), chứng minh \(AK \bot \left( {SPC} \right)\)

- Sử dụng diện tích tam giác tính \(AH\). Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông tính \(AK\).

Giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(CM \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM \bot SA\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {SAB} \right)\).

b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AN\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAN} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot SN\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SN \subset \left( {SBC} \right),\,\,SN \bot BC\\AN \subset \left( {ABC} \right),\,\,AN \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SN;AN} \right) = \angle SNA\).

Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông \(SAN\) ta có \(\tan \angle SNA = \dfrac{{SA}}{{AN}} = \dfrac{{2a}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \(\tan \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\).

c) Ta có \(AB \cap \left( {SPC} \right) = P \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B;\left( {SPC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SPC} \right)} \right)}} = \dfrac{{BP}}{{AP}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {B;\left( {SPC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SPC} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot PC\,\,\left( {H \in PC} \right)\), trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AK \bot SH\,\,\left( {K \in SH} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}PC \bot AH\\PC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow PC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow PC \bot AK\\\left\{ \begin{array}{l}AK \bot PC\\AK \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AK \bot \left( {SPC} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SPC} \right)} \right) = AK\end{array}\)

Ta có \(\dfrac{{{S_{APC}}}}{{{S_{ABC}}}} = \dfrac{{AP}}{{AB}} = \dfrac{2}{3} \Rightarrow {S_{APC}} = \dfrac{2}{3}{S_{ABC}} = \dfrac{2}{3}\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\).

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2}AH.PC = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}\), lại có \(P{C^2} = B{C^2} + B{P^2} - 2BC.BP.\cos {60^0} = \dfrac{{7a}}{9} \Rightarrow PC = \dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}\).

\( \Rightarrow AH = \dfrac{{2.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 7 }}{3}}} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\) ta có \(AK = \dfrac{{SA.AH}}{{\sqrt {S{A^2} + A{H^2}} }} = \dfrac{{2a.\dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}}}{{\sqrt {4{a^2} + \dfrac{{3{a^2}}}{7}} }} = \dfrac{{2a\sqrt {93} }}{{31}}\).

Vậy \(d\left( {B;\left( {SPC} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}AK = \dfrac{{a\sqrt {93} }}{{31}}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.