Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = 4,\,\,AB = 2,\,\,AC = 1\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(O\) là
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA = 4,\,\,AB = 2,\,\,AC = 1\) và \(SA \bot \left( {ABC} \right)\). Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Mặt cầu tâm \(O\), đi qua \(A\) và cắt các tia \(SB,\,\,SC\) lần lượt tại \(D\) và \(E\). Khi độ dài đoạn thẳng \(BC\) thay đổi, giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.ADE\) là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Kẻ đường kính \(AM\) của \(\left( O \right)\).
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BM \bot AB\\BM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BM \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BM \bot AD\).
Lại có \(AD \bot DM\) (góc nội tiếp chắn nửa mặt cầu) \( \Rightarrow AD \bot \left( {SBM} \right) \Rightarrow AD \bot SB\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\dfrac{{SD}}{{SB}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{B^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{B^2}}} = \dfrac{{{4^2}}}{{{4^2} + {2^2}}} = \dfrac{4}{5}\).
Ta có \(AD \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AD \bot DE \Rightarrow \Delta ADE\) vuông tại \(D\).
Chứng minh tương tự ta có \(AE \bot \left( {SCM} \right)\) \( \Rightarrow AE \bot SC\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có \(\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{C^2}}} = \dfrac{{S{A^2}}}{{S{A^2} + A{C^2}}} = \dfrac{{{4^2}}}{{{4^2} + {1^2}}} = \dfrac{{16}}{{17}}\).
Khi đó ta có \(\dfrac{{{V_{S.ADE}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SD}}{{SB}}.\dfrac{{SE}}{{SC}} = \dfrac{4}{5}.\dfrac{{16}}{{17}} = \dfrac{{64}}{{85}} \Rightarrow {V_{S.ADE}} = \dfrac{{64}}{{85}}{V_{S.ABC}}\).
Do đó \({V_{S.ADE}}\) đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({V_{S.ABC}}\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta có \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{6}SA.AB.AC.\sin \angle BAC\) \( = \dfrac{1}{6}.4.2.1.\sin \angle BAC = \dfrac{4}{3}\sin \angle BAC\) đạt giá trị lớn nhất khi \(\sin \angle BAC = 1 \Leftrightarrow \angle BAC = {90^0}\).
Khi đó \(\max {V_{S.ABC}} = \dfrac{4}{3} \Rightarrow \max {V_{S.ADE}} = \dfrac{{256}}{{255}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
