Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\) và
Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 13 = 0\) và đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\). Lấy điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) với \(a < 0\) thuộc đường thẳng \(d\) sao cho từ \(M\) kẻ được ba tiếp tuyến \(MA,\,\,MB,\,\,MC\) đến mặt cầu \(\left( S \right)\) (\(A,\,\,B,\,\,C\) là tiếp điểm) thỏa mãn \(\angle AMB = {60^0}\), \(\angle BMC = {90^0}\), \(\angle CMA = {120^0}\). Tổng \(a + b + c\) bằng:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Tính độ dài đoạn thẳng \(IM\) với \(I\) là tâm mặt cầu.
- Tham số hóa tọa độ điểm \(M\), sau đó dựa vào độ dài đoạn thẳng \(IM\) để tìm điểm \(M\).
Mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {1;2; - 3} \right)\), bán kính \(R = 3\sqrt 3 \).
Đặt \(MA = MB = MC = a\).
Tam giác \(MAB\) có \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\\angle AMB = {60^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta MAB\) đều \( \Rightarrow AB = a\).
Tam giác \(MBC\) có \(\left\{ \begin{array}{l}MB = MC = a\\\angle BMC = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \Delta MBC\) vuông cân tại \(M\) \( \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \).
Tam giác \(MCA\) có \(\left\{ \begin{array}{l}MC = MA = a\\\angle MAC = {120^0}\end{array} \right.\), áp dụng định lí Cosin trong tam giác ta tính được \(CA = a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\) (định lí Pytago đảo).
\( \Rightarrow \) \(\Delta ABC\) ngoại tiếp đường tròn đường kính \(AC\), bán kinh \(R = HA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (với \(H\) là trung điểm của \(AC\)).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(IAM\) ta có:
\(\dfrac{1}{{H{A^2}}} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{I{A^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{4}{{3{a^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{27}} \Leftrightarrow a = 3 = MA = MB = MC\).
\( \Rightarrow I{M^2} = M{A^2} + I{A^2} = {3^2} + 27 = 36\).
Vì \(M \in d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) nên gọi \(M\left( { - 1 + t;\,\, - 2 + t;\,\,1 + t} \right)\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow I{M^2} = {\left( {t - 2} \right)^2} + {\left( {t - 4} \right)^2} + {\left( {t + 4} \right)^2} = 36\\ \Leftrightarrow 3{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = \dfrac{4}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}M\left( { - 1; - 2;1} \right)\\M\left( {\dfrac{1}{3}; - \dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3}} \right)\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow a = - 1,\,\,b = - 2,\,\,c = 1\).
Vậy \(a + b + c = - 1 - 2 + 1 = - 2\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
