Giá trị của \(\tan \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{3}} \right)\) bằng bao nhiêu khi \(\sin \alpha =

Câu hỏi số 483749:

Vận dụng

Giá trị của \(\tan \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{3}} \right)\) bằng bao nhiêu khi \(\sin \alpha = \dfrac{3}{5}\,\,\,\left( {\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi } \right)\).

A. \(\dfrac{{48 + 25\sqrt 3 }}{{11}}\)

B. \(\dfrac{{8 - 5\sqrt 3 }}{{11}}\)

C. \(\dfrac{{8 - \sqrt 3 }}{{11}}\)

D. \(\dfrac{{48 - 25\sqrt 3 }}{{11}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:483749

Phương pháp giải

+ Sử dụng công thức cộng cung để biến đổi biểu thức \(\tan \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{3}} \right)\).

+ Tính \(\cos \alpha \) và \(\tan \alpha \) bằng cách áp dụng công thức \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1;\,\,\tan \alpha = \dfrac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\tan \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \dfrac{{\tan \alpha + \tan \dfrac{\pi }{3}}}{{1 - \tan \alpha \tan \dfrac{\pi }{3}}}\)\( = \dfrac{{\tan \alpha + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 \tan \alpha }}\)\(\left( * \right)\)

Mà \(\sin \alpha = \dfrac{3}{5}\,\)\( \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \,\)\( = \pm \sqrt {1 - \dfrac{9}{{25}}} = \pm \dfrac{4}{5}\,\)

Vì \(\,\,\dfrac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0\)\( \Rightarrow \cos \alpha = - \dfrac{4}{5}\)

\( \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\)\( = \dfrac{{\dfrac{3}{5}}}{{\dfrac{{ - 4}}{5}}} = - \dfrac{3}{4}\)

Thay \(\tan \alpha = \dfrac{{ - 3}}{4}\)vào \(\left( * \right)\) , ta có :

\(\tan \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{3}} \right)\)\( = \dfrac{{\tan \alpha + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 \tan \alpha }}\)\( = \dfrac{{ - \dfrac{3}{4} + \sqrt 3 }}{{1 + \sqrt 3 \dfrac{3}{4}}}\)\( = \dfrac{{ - 3 + 4\sqrt 3 }}{{4 + 3\sqrt 3 }}\)\( = \dfrac{{48 - 25\sqrt 3 }}{{11}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.