Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;3;4} \right)\), \(B\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và mặt

Câu hỏi số 484595:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;3;4} \right)\), \(B\left( {1; - 2; - 1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - y + 2z + 8 = 0\). Xét điểm \(M\) là điểm thay đổi thuộc \(\left( P \right)\), giá trị nhỏ nhất của \(3M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng:

A. \(172\)

B. \(168\)

C. \(178\)

D. \(180\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484595

Phương pháp giải

- Gọi \(I\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), tìm tọa độ điểm \(I\).

- Phân tích biểu thức \(3M{A^2} + 2M{B^2}\) bằng cách đưa về vectơ và chèn điểm \(I\).

- Chứng minh \(3M{A^2} + 2M{B^2}\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất, khi đó \(MI = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).

- Khoảng cách từ điểm \(I\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là

\(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {x;y;z} \right)\) là điểm thỏa mãn \(3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \), ta có:

\(\overrightarrow {IA} = \left( {1 - x;3 - y;4 - z} \right),\,\,\overrightarrow {IB} = \left( {1 - x; - 2 - y; - 1 - z} \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}3\left( {1 - x} \right) + 2\left( {1 - x} \right) = 0\\3\left( {3 - y} \right) + 2\left( { - 2 - y} \right) = 0\\3\left( {4 - z} \right) + 2\left( { - 1 - z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - 5x = 0\\5 - 5y = 0\\10 - 5z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\\z = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;1;2} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}3M{A^2} + 2M{B^2} = 3{\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2}\\ = 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 3\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IA} + I{A^2}} \right) + 2\left( {M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {IB} + I{B^2}} \right)\\ = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {3\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} } \right) + 3I{A^2} + 2I{B^2}\\ = 5M{I^2} + 3I{A^2} + 2I{B^2}\end{array}\)

Vì \(I,\,\,A,\,\,B\) cố định nên \(3I{A^2} + 2I{B^2}\) không đổi, do đó \(3M{A^2} + 2M{B^2}\) nhỏ nhất khi \(MI\) nhỏ nhất, khi đó \(MI = d\left( {I;\left( P \right)} \right)\).

Ta có \(d\left( {I;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 1 + 2.2 + 8} \right|}}{{\sqrt {1 + 1 + 4} }} = \dfrac{{12}}{{\sqrt 6 }} = 2\sqrt 6 \).

\(\overrightarrow {IA} = \left( {0;2;2} \right) \Rightarrow IA = 2\sqrt 2 ,\,\,\overrightarrow {IB} = \left( {0; - 3; - 3} \right) \Rightarrow IB = 3\sqrt 2 \).

Vậy \({\left( {3M{A^2} + 2M{B^2}} \right)_{\min }} = 5.{\left( {2\sqrt 6 } \right)^2} + 3.{\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + 2.{\left( {3\sqrt 2 } \right)^2} = 180\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.