Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\sqrt 2 ,\,\,AC =

Câu hỏi số 484596:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\sqrt 2 ,\,\,AC = a\). Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(AC'\) với mặt phẳng \(\left( {BCC'B'} \right)\). Biết \(AA' = a\sqrt 3 \), khi đó \(\sin \alpha \) bằng:

A. \(\dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484596

Phương pháp giải

- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

- Xác định góc giữa \(AC'\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) là góc giữa \(AC'\) và hình chiếu vuông góc của \(AC'\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng và định lí Pytago trong các tam giác vuông tính độ dài các cạnh, từ đó tính \(\sin \alpha \).

Giải chi tiết

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AH \bot BC\,\,\left( {H \in BC} \right)\) ta có:\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\AH \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {BCC'B'} \right)\).

\( \Rightarrow HC'\) là hình chiếu vuông góc của \(AC'\) lên \(\left( {BCC'B'} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {AC';\left( {BCC'B'} \right)} \right) = \angle \left( {AC';HC'} \right) = \angle AC'H = \alpha \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(ABC\) ta có:

\(AH = \dfrac{{AB.AC}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\), \(HC = \dfrac{{A{C^2}}}{{BC}} = \dfrac{{A{C^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} }} = \dfrac{{{a^2}}}{{\sqrt {2{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(C'H = \sqrt {CC{'^2} + C{H^2}} = \sqrt {3{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{3}\).

Xét tam giác vuông \(AC'H\) ta có: \(AC' = \sqrt {A{H^2} + C'{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{{a\sqrt {30} }}{3}} \right)}^2}} = 2a\).

Vậy \(\sin \alpha = \sin \angle AC'H = \dfrac{{AH}}{{AC'}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}:2a = \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.