Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\). Biết

Câu hỏi số 484597:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi tâm \(O\), tam giác \(ABD\) đều cạnh \(a\). Biết \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) và \(SO = \dfrac{{3a}}{4}\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\), khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SM\) và \(BD\) là:

A. \(\dfrac{{a\sqrt {10} }}{{40}}\)

B. \(\dfrac{{8a}}{3}\)

C. \(\dfrac{{3a}}{8}\)

D. \(\dfrac{{3a}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484597

Phương pháp giải

- Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC\), sử dụng định lí khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa đường thẳng này và mặt phẳng song song chứa đường thẳng kia, chứng minh \(d\left( {SM;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SMN} \right)} \right)\).

- Gọi \(I = MN \cap BD\). Trong \(\left( {SOI} \right)\) kẻ \(OH \bot SI\), chứng minh \(OI \bot \left( {SMN} \right)\).

- Sử dụng tính chất tam giác đều, định lí đường trung bình của tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD\) \( \Rightarrow MN//BD\).

\( \Rightarrow BD//\left( {SMN} \right) \supset SM \Rightarrow d\left( {SM;BD} \right) = d\left( {BD;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Gọi \(I = MN \cap BD\).

Vì \(ABCD\) là hình thoi nên \(AC \bot BD \Rightarrow OI \bot MN\).

Trong \(\left( {SOI} \right)\) kẻ \(OH \bot SI\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}MN \bot OI\\MN \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot \left( {SOI} \right) \Rightarrow MN \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot MN\\OH \bot SI\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SMN} \right)} \right) = OH\end{array}\)

Vì \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta BCD \Rightarrow I\) là trung điểm của \(OC\) \( \Rightarrow OI = \dfrac{1}{2}OC = \dfrac{1}{2}OA\).

Lại có \(\Delta ABD\) đều cạnh \(a\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(OA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow OI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOI\) có: \(OH = \dfrac{{SO.OI}}{{\sqrt {S{O^2} + O{I^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{3a}}{4}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\sqrt {\dfrac{{9{a^2}}}{{16}} + \dfrac{{3{a^2}}}{{16}}} }} = \dfrac{{3a}}{8}\).

Vậy \(d\left( {SM;BD} \right) = \dfrac{{3a}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.