Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau: Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 484603:

Vận dụng cao

Cho hàm số bậc bốn \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình

\({3.12^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right){.16^{f\left( x \right)}} - {9^{f\left( x \right)}}.m \ge \left( {{m^2} + 2m} \right){.3^{2f\left( x \right)}}\)

đúng với mọi \(x \in \mathbb{R}\).

A. \(7\)

B. \(3\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:484603

Phương pháp giải

- Chia cả 2 vế của bất phương trình \({3.12^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right){.16^{f\left( x \right)}} - {9^{f\left( x \right)}}.m \ge \left( {{m^2} + 2m} \right){.3^{2f\left( x \right)}}\) cho \({9^{f\left( x \right)}}\) ta được:

- Đặt \(g\left( x \right) = \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}}\), đưa bất phương trình về dạng \({m^2} + 3m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow {m^2} + 3m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\).

- Dựa vào đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tìm \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 4\).

- Giải bất phương trình tìm \(m\).

Giải chi tiết

Chia cả 2 vế của bất phương trình \({3.12^{f\left( x \right)}} + \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right){.16^{f\left( x \right)}} - {9^{f\left( x \right)}}.m \ge \left( {{m^2} + 2m} \right){.3^{2f\left( x \right)}}\) cho \({9^{f\left( x \right)}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}} - m \ge {m^2} + 2m\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}} \ge {m^2} + 3m\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\)

Đặt \(g\left( x \right) = \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}}\) ta có \({m^2} + 3m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {m^2} + 3m \le \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right)\).

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f\left( x \right) \ge 1\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow {f^2}\left( x \right) \ge 1\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 1 \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {{f^2}\left( x \right) - 1} \right).{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{2f\left( x \right)}} + 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}} \ge 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^{f\left( x \right)}} \ge 3.{\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^1} = 4\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow g\left( x \right) \ge 4\,\,\forall x \in \mathbb{R}\end{array}\).

Do đó \(\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 4 \Rightarrow {m^2} + 3m \le 4 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 1\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.