Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| = 3\). Biểu thức \(P = \left| {z + 10i} \right| +
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + i} \right| = 3\). Biểu thức \(P = \left| {z + 10i} \right| + 3\left| {z - 3 + 5i} \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(z = a + bi\,\,\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\). Giá trị của \(a + 2b\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp hình học.
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\). Vì \(\left| {z + i} \right| = 3\) \( \Rightarrow \) Tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\left( {0; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\).
Ta có: \(P = \left| {z + 10i} \right| + 3\left| {z - 3 + 5i} \right| = MA + 3MB\) với \(A\left( {0; - 10} \right)\), \(B\left( {3; - 5} \right)\).
Gọi \(J\left( {0; - 2} \right)\).
Xét \(\Delta IJM\) và \(\Delta IMA\) có:
\(\angle AIM\) chung;
\(\dfrac{{IJ}}{{IM}} = \dfrac{1}{3},\,\,\dfrac{{IM}}{{IA}} = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow \dfrac{{IJ}}{{IM}} = \dfrac{{IM}}{{IA}}\)
\( \Rightarrow \Delta IJM \sim \Delta IMA\,\,\left( {c.g.c} \right)\) \( \Rightarrow \dfrac{{MJ}}{{MA}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow MA = 3MJ\).
Khi đó ta có \(P = MA + 3MB = 3MJ + 3MB \ge 3BJ\).
Dấu “=” xảy ra khi \(M,\,\,J,\,\,B\) thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng \(JB\) là \(\dfrac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \dfrac{{y + 2}}{{ - 5 + 2}} \Leftrightarrow x = - y - 2 \Leftrightarrow x + y + 2 = 0\).
Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {0; - 1} \right)\), bán kính \(R = 3\) là \({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\).
\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\{x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y + 1 = - x - 1\\{x^2} + {\left( {x + 1} \right)^2} = 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\2{x^2} + 2x - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = 0\\x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\end{array}\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy \({x_M} > 0 \Rightarrow {x_M} = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}\) \( \Rightarrow {y_M} = - \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\).
\( \Rightarrow M\left( {\dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2}; - \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \right) \Rightarrow z = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2} - \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}i\).
\( \Rightarrow a = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} }}{2},\,\,b = - \dfrac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\).
Vậy \(a + 2b = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {17} - 6 - 2\sqrt {17} }}{2} = - \dfrac{{7 + \sqrt {17} }}{2}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
