Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = 90^\circ \), \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {\rm{A}}\) (\(D \in

Câu hỏi số 485245:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có \(\widehat B = 90^\circ \), \(AD\) là tia phân giác của \(\widehat {\rm{A}}\) (\(D \in BC\)). Trên tia \(AC\) lấy điểm E sao cho \(AB\, = \,AE\); kẻ \(BH \bot AC\)\(\left( {H \in AC} \right)\).

a) Chứng minh \(\Delta ABD = \Delta AED;\,DE \bot AE\).

b) Chứng minh AD là đường trung trực của đoạn thẳng \(BE\).

c) So sánh EH và EC.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485245

Phương pháp giải

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung trực trong tam giác cân.

Giải chi tiết

a) Xét \(\Delta ABD\)và\(\Delta AED\)có:

+ \(AD\)chung

+ AB = AE (gt)

+ \(\widehat {BAD} = \widehat {EAD}\) (vì\(AD\)là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))

\( \Rightarrow \Delta ABD = \)\(\Delta AED\) (c.g.c) (đpcm)

\( \Rightarrow \widehat {AED} = \widehat {ABD} = 90^\circ \) (hai góc tương ứng)

\( \Rightarrow DE \bot AE\)(đpcm)

b) Vì AB = AE (gt) \( \Rightarrow \Delta ABE\) cân tại A.

Lại có \(AD\)là tia phân giác của \(\widehat {BAE}\) nên AD cũng là đường trung trực của BE.

+ Do \(AM = AN\)\( \Rightarrow \Delta AMN\)cân tại \(A\)

Vì \(AD\)là tia phân giác của góc \(A\)nên suy ra \(AD\)đồng thời là đường cao trong \(\Delta AMN\)ứng với cạnh \(MN\).

\( \Rightarrow AD \bot MN\) (đpcm). (4)

+ \(\Delta ABC\)có \(AD\)là tia phân giác của góc \(A\)nên suy ra \(AD\)đồng thời là đường cao ứng với cạnh \(BC\).

\( \Rightarrow AD \bot BC\) (5)

Từ (4), (5) suy ra \(MN//BC\) (đpcm)

Vì \(\Delta ABD = \Delta AED\) (câu a) \( \Rightarrow BD = DE\).

Gọi \(M = AB \cap DE\), kẻ \(BN \bot ME\), \(\left( {N \in ME} \right)\).

Vì \(\left. \begin{array}{l}BH \bot AC(gt)\\DE \bot AC\,(cmt)\end{array} \right\} \Rightarrow BH//DE\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \widehat {HBE} = \widehat {BEN}\) (2 góc so le trong)

Xét \(\Delta BHE\) và \(\Delta ENB\) có:

+ \(\widehat {BHE} = \widehat {ENB} = 90^\circ \)

+ \(BE\) là cạnh chung

+ \(\widehat {HBE} = \widehat {BEN}\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta BHE = \Delta ENB\)(g.c.g)

\( \Rightarrow EH = NB\) (*)

Xét \(\Delta BDM\) và \(\Delta EDC\) có:

+ \(\widehat {DBM} = \widehat {DEC} = 90^\circ \)

+ \(BD = DE\) (cmt)

+ \(\widehat {BDM} = \widehat {EDC}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta BDM = \Delta EDC\)(g.c.g)

\( \Rightarrow BM = EC\) (**)

Xét tam giác vuông \(BNM\) có \(BN\) là cạnh góc vuông, \(BM\) là cạnh huyền \( \Rightarrow BM > BN\) (***)

Từ (*), (**), (***) \( \Rightarrow EC > EH\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link