Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), phân giác \(BD\)\(\left( {D \in AC} \right)\). Kẻ \(DE\)vuông góc với

Câu hỏi số 485250:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\), phân giác \(BD\)\(\left( {D \in AC} \right)\). Kẻ \(DE\)vuông góc với \(BC\) \(\left( {E \in BC} \right)\).

a) Chứng minh: \(\Delta ABD = \Delta EBD\).

b) Kẻ \(AH \bot BC,\,\left( {H \in BC} \right)\), AH cắt BD tại I. Chứng minh rằng AH song song với DE và \(\Delta AID\) cân.

c) Chứng minh rằng \(AE\) là phân giác \(\widehat {HAC}\).

d) \(\Delta ABC\) cần thêm điều kiện gì để \(DC = 2AI\).

(Vẽ hình và viết giả thiết, kết luận 0,25 điểm)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485250

Phương pháp giải

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Sử dụng tính chất của các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song.

+ Các định lí từ vuông góc tới song song.

+ Tính chất các đường cao, đường phân giác, đường trung trực trong tam giác cân.

Giải chi tiết

a) Xét hai tam giác vuông\(\Delta ABD\)và\(\Delta EBD\)có:

+ \(BD\)chung

+ \(\angle ABD = \angle EBD\) (vì\(BD\)là tia phân giác của \(\angle ABC\))

\( \Rightarrow \Delta ABD = \)\(\Delta EBD\) (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm)

b) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\left( {gt} \right)\\DE \bot BC\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH//DE\) (từ vuông góc đến song song)

\( \Rightarrow \widehat {AID} = \widehat {IDE}\) (2 góc so le trong) (1)

Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (câu a) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {BDE}\) (2 góc tương ứng) hay \(\widehat {ADI} = \widehat {IDE}\) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {AID} = \widehat {ADI}\). Do đó \(\Delta AID\) cân tại \(A\). (đpcm)

Vì \(AH//DE\) (cmt) nên \(\widehat {HAE} = \widehat {AED}\) (2 góc so le trong) (3)

Vì \(\Delta ABD = \Delta EBD\) (câu a) nên \(AD = DE\) (2 cạnh tương ứng) \( \Rightarrow \Delta ADE\) cân tại D.

\( \Rightarrow \widehat {DAE} = \widehat {DEA}\) (2 góc tương ứng) (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \widehat {HAE} = \widehat {DAE}\)\( \Rightarrow AE\) là tia phân giác của \(\widehat {HAC}\) (đpcm).

Vì \(\Delta AID\) cân tại \(A\)\( \Rightarrow AI = AD\), lại có \(AD = DE\) (cmt) \( \Rightarrow AI = DE\)

Nếu \(DC = 2AI\) \( \Rightarrow DC = 2DE\).

Gọi \(M\) là trung điểm \(DC\)\( \Rightarrow DM = MC\). Xét tam giác vuông \(DEC\) có \(EM\) là đường trung tuyến \( \Rightarrow EM = DM = MC\)

\( \Rightarrow \Delta DEM\) là tam giác đều \( \Rightarrow \widehat {EDC} = 60^\circ \) (tính chât tam giác đều).

Xét tam giác \(DEC\) vuông tại \(E\) có \(\widehat {EDC} = 60^\circ \)\( \Rightarrow \widehat {DCE} = 30^\circ \) hay \(\widehat {ACB} = 30^\circ \).

Vậy để \(DC = 2AI\) thì tam giác \(ABC\) có thêm điều kiện là \(\widehat {ACB} = 30^\circ \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link