Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) cạnh đáy bằng \(a\) và khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt

Câu hỏi số 485458:

Vận dụng

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) cạnh đáy bằng \(a\) và khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(\dfrac{{3a}}{4}\) (tham khảo hình vẽ bên dưới). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt phẳng đáy bằng:

A. \({30^0}\)

B. \({45^0}\)

C. \({60^0}\)

D. \({90^0}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:485458

Phương pháp giải

- Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

- Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và \(\left( {ABC} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\) tính \(SH\) theo \(SM\), với \(M\) là trung điểm của \(BC\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính góc.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trực tâm \(\Delta ABC\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SM \subset \left( {SBC} \right),\,\,SM \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right),\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SM;AM} \right) = \angle SMA = \angle SMH\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right).{S_{\Delta SBC}}\\ \Rightarrow SH.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3a}}{4}.\dfrac{1}{2}SM.a\\ \Rightarrow SH = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}SM\end{array}\)

Xét tam giác vuông \(SHM\) ta có \(\sin \angle SMH = \dfrac{{SH}}{{SM}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow \angle SMH = {60^0}\).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = {60^0}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.