Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(5C_n^{n - 1} - C_n^3 = 0\). Tìm hệ số của số hạng chứa

Câu hỏi số 486396:

Vận dụng

Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn \(5C_n^{n - 1} - C_n^3 = 0\). Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}} \right)^n},\,\,x \ne 0\).

A. \( - \dfrac{{35}}{{16}}\)

B. \( - \dfrac{{35}}{{16}}{x^5}\)

C. \( - \dfrac{{35}}{2}{x^5}\)

D. \(\dfrac{{35}}{{16}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:486396

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\) giải phương trình tìm \(n\).

- Khai triển nhị thức Niu-tơn: \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}5C_n^{n - 1} - C_n^3 = 0 \Leftrightarrow \dfrac{{5n!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = \dfrac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{5}{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}} = \dfrac{1}{6} \Leftrightarrow {n^2} - 3n + 2 = 30\\ \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 28 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 7\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 4\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(n = 7\) ta có \({\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - \dfrac{1}{x}} \right)^7} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right)}^k}{{\left( { - \dfrac{1}{x}} \right)}^{7 - k}}} = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k{{\left( { - 1} \right)}^{7 - k}}{{.2}^{ - k}}{x^{3k - 7}}} \)

Do đó số hạng chứa \({x^5}\) ứng với \(3k - 7 = 5 \Leftrightarrow k = 4\).

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của đã cho là \(C_7^4{\left( { - 1} \right)^3}{.2^{ - 4}} = - \dfrac{{35}}{{16}}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.